Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

.pdf

Скачиваний:

347

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

		при	x	,	0	;
0		при	x	,	0	;
f x	x	при x 0,

и построить график суммы ряда S x .

Продолжим заданную функцию периодически на всю ось. Тогда функция будет иметь разрывы первого рода в точках

x 2 k, k 0, 1, 2, ... В этих точках функция S x будет принимать значение 2 , равное согласно теореме Дирихле полу-

сумме левого и правого пределов функции f x .												В остальных
точках значения функций S x			и		f x будут совпадать.
Вычислим коэффициенты Фурье:
	1		1		0				1
a0	1	f x dx	1			0dx			1	xdx		;
										0	2
	1				1		1 n 1 ;
an	1	xcos nxdx			1
an		xcos nxdx			n	2
		0			n
bn	1			1 n 1				.
bn		xsin nxdx			n			.
		0			n

Проверьте справедливость этих равенств, выполнив интегрирование по частям.

Запишем разложение заданной функции в ряд Фурье:

							1							1	n 1
f x							1			1 n 1 cos nx						sin nx
f x							2			1 n 1 cos nx				n		sin nx
		4			n 1	n								n
			2				1				1
				cos x						cos3x			cos5x ...
	4			cos x				2		cos3x	5	2	cos5x ...
	4						3				5
sin x 1 sin 2x									1 sin 3x		1 sin 4x ...
		2							3		4

220

Получено искомое разложение функции в ряд Фурье в точках непрерывности функции, оно совпадает с суммой ряда Фурье.

Из разложений в ряд Фурье часто можно получать суммы числовых рядов. Подставим, например, в разложение функции значение x 0, имеем

f 0 0			2			1		1							1		1					2
				1							...		1							...			.
		4		1		3	2	5	2		...		1		3	2	5	2		...		8	.
		4				3		5							3		5					8
Подставим в разложение x												, получим
										2
					1		1	1		... 1				1		1	1		...			.
f		2	4		1		3	5		... 1				3		5	7		...		4	.
	2	2	4				3	5						3		5	7				4

П3.5. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке l, l

В разд. П3.2 были получены формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке

, (или периодических функций с периодом 2 ).

Выведем формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении

в ряд функции, заданной на отрезке l, l .	l, l
Если функция f x задана на отрезке	l, l		(или является
периодической с периодом T 2l ), то функция			l
		f		x	имеет пе-
		f		x	имеет пе-

риод T 2 (см. свойство 1 периодических функций в разд. П3.2). Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье для функции с периодом T 2 следующим образом:

l			a0
				an cos nx bn sin nx.
f	x	=	2
				n 1

Коэффициенты Фурье в этом соотношении определяются формулами:

221

1 a0

1 bn

l			1
f	x dx;	an
f	x dx;	an

fl x sin nxdx.

fl x cos nxdx;

Сделаем в этих формулах замену переменных t

x, x

dt, получим

1 l

f t dt;

1 l

f t cos

1 l

f t sin

a0 l

an l

dt;

bn l

dt.

Тогда разложение функции будет выглядеть так:

	a0		nt		nt
f t =		an cos		bn sin		S t
	2		l		l
		n 1

(в точках непрерывности функции). В точках разрыва функции сумма ряда равна полусумме левого и правого пределов функции:

S t 12 f t 0 f t 0 .

Возвращаясь к переменному x, заменяя формально t на x, полу-

чаем формулы коэффициентов ряда Фурье в разложении в ряд функции, заданной на отрезке l, l :

1 l

f x dx,

1 l

f x cos

1 l

f x sin

a0 l

an l

dx,

bn l

dx.

В точках непрерывности функции

222

	a0		nx		nx.
f x S x		an cos		bn sin
			l
2		n 1			l

В точках разрыва функции сумма ряда равна

S x 12 f x 0 f x 0 .

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

x 1		при	x 1,	2 ;
	при x 2, 6 ;
f x 1	при x 2, 6 ;
7 x		при	x 6,	7 ,

не вычисляя коэффициенты ряда Фурье. Функция непрерывна, по теореме Дирихле

	a0		nx		nx
f x S x		an cos		bn sin		,
	2		3		3
		n 1

где коэффициенты ряда Фурье равны

a	1			7	f	x	dx				1		2		x 1 dx 6			1dx 7			7	x	dx ;
0			3								3
			3								3
				1									1				2		6
an			1	7	f x cos					nx
an			3		f x cos						3			dx
				1
	1		2	x 1 cos				nx							6		nx		7	7 x cos					nx
	3			x 1 cos							3		dx cos				3		dx	7 x cos					3		dx ;
	3										3				2		3		6						3
		1													2				6
bn			1	7	f x sin				nx
bn			3		f x sin						3		dx
				1
	1		2	x 1 sin				nx							6	nx			7					nx
	3			x 1 sin						3		dx sin					3	dx 7 x sin							3	dx .
	3									3					2		3		6						3
		1													2				6

223

Достаточно подставить найденные коэффициенты в сумму S(x), чтобы получить разложение функции в ряд Фурье в точках ее непрерывности.

П3.6. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Сформулируем идокажем свойства четныхи нечетных функций. 1. Произведение четных функций – четная функция. Произведение нечетных функций – четная функция, произведение четной

и нечетной функций – нечетная функция.

Докажем это свойство. Обозначим н x , ч x – нечетную и четную функции:

н x н x , ч x ч x .

Получим

ч1 x ч2 x ч1 x ч2 x ;

н1 x н2 x н1 x н2 x н1 x н2 x ;

чx н x ч x н x ч x н x .

2.Интеграл от функции в симметричных пределах равен

				l		если f x четная функция;
	l		2	f x dx,		если f x четная функция;
		f x dx		0
	l				f x нечетная функция.
			0, если		f x нечетная функция.
Докажем это свойство:
l		0			l	0	l
	f x dx		f x dx f x dx f z dz f x dx
l		l			0	l	0
	l		l		l	f x f x dx
f x dx f				x dx		f x f x dx
	0		0		0

224

	l		f x четная функция;
2	f x dx, если
	0
		f x нечетная функция.
0, если

Здесь в первом интеграле сделана замена переменного z x. Свойство доказано.

Выведем формулы для разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Рассмотрим формулы разложения функции						f x , заданной на
отрезке l, l , в ряд Фурье:
1 l	1 l			nx	1 l			nx
a0 l	f x dx; an l f x cos			l	dx; bn l		f x sin	l	dx.
l	l					l
В точках непрерывности функции
		a0
	f x S x	a0	an cos nx bn sin				nx.
	f x S x		an cos nx bn sin				nx.
	2		n 1		l		l
			n 1

В точках разрыва функции

S x 12 f x 0 f x 0 .

Если функция f x четная, то по четности косинуса, нечетно-

сти синуса и свойству 1 подынтегральные функции в коэффициентах a0 , an – четные, а в коэффициентах bn – нечетные. Следова-

тельно, коэффициенты ряда Фурье равны

2 l		f x dx;	2 l		f x cos	nx
a0 l		f x dx;	an l		f x cos	l	dx; bn 0.
	0			0

Запишем ряд Фурье в точках непрерывности функции:

	a0		nx.
f x S x		an cos

2		n 1	l

225

Четная функция разлагается по четным функциям.

Если функция f x нечетная, то по четности косинуса, нечетно-

сти синуса и свойству 1 подынтегральные функции в коэффициентах a0 , an нечетные, а в коэффициентах bn четные. Следова-

тельно,
		2 l	f x sin		nx
a0 0,	an 0,	bn l	f x sin		l	dx.
		0
В точках непрерывности функции
				nx.
	f x S x bn sin			nx.
		n 1		l
		n 1

Нечетная функция разлагается по нечетным функциям.

П3.7. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке0, l , по синусам и косинусам кратных дуг

Так как функция задана на отрезке 0, l , то ее можно определить на отрезке l, 0 четным или нечетным образом.

Если функция определена четным образом, то она, как четная функция, может бытьразложена по формулам длячетнойфункции:

2 l		f x dx;	2 l		f x cos	nx
a0 l		f x dx;	an l		f x cos	l	dx; bn 0.
	0			0

В точках непрерывности функции

	a0		nx .
f x S x		an cos

2		n 1	l

Это разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.

Если функция определена нечетным образом, то она, как нечетная функция, может быть разложена по формулам для нечетной функции:

226

	2 l	f x sin		nx
a0 0, an 0,	bn l	f x sin		l	dx.
	0
В точках непрерывности функции
			nx.
f x S x bn sin			nx.
	n 1		l
	n 1

Это разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.

Одну и ту же функцию, заданную на отрезке 0, l , можно

разложить и по синусам, и по косинусам кратных дуг.

Пример. Разложить по косинусам и синусам кратных дуг

функцию	f	x	, заданную на отрезке			:
функцию	f	x	, заданную на отрезке		0, 1	:
			1	при x 0,		1 ;

			f x 0	при x 0,		1 .

Так как определяем функцию на отрезке l, 0

при разложе-

нии по косинусам и по синусам кратных дуг, то T 2l 2,

l 1.

Разложим функцию по косинусам кратных дуг:

a0 2 dx 2,

an 2 cos nxdx 0,

bn 0,

f x S x

для любого x 0,

1 .

Разложим функцию по синусам кратных дуг:

1 n

1 ;

a0 0;

an 0;

bn 2 sin nxdx

f x S x bn sin nx

sin x

sin 3 x

sin 5 x ...

n 1

227

для любого x 0, 1 . По теореме Дирихле

S 0 S 1 0.

Разложения заданной функции в ряды Фурье по косинусам и по синусам кратных дуг найдены.

П3.8. Комплексная форма ряда Фурье

Запишем ряд Фурье, подставляя выражения синусов и косинусов через экспоненты:

einx

e inx ;

f (x)

an cos nx bn sin nx; cos nx

n 0

sin nx

(einx

e inx );

einx e inx

f (x)

ibn

n 1

einx (a

) e inx (a

ib )

cne inx,

n 1

где введены коэффициенты

; c

an ibn

;

an ibn

Найдем эти коэффициенты:

f (x)einxdx;

f (x)(cos nx isin nx)dx

228

		a	ib	1	f (x) cos nx isin nx dx
c		n	n
c
n			2	2

	1							1
	1		f (x)(cos( nx) isin( nx))dx					1	f (x)e inxdx.
	2		f (x)(cos( nx) isin( nx))dx					2	f (x)e inxdx.
	2							2

Следовательно, коэффициенты ряда Фурье равны
				c		1	f (x)einxdx.
				c			f (x)einxdx.

n	2
n

П3.9. Интеграл Фурье

Теорема. Пусть функция f (x) ограничена и абсолютно интег-

рируема на всей числовой оси, на любом конечном интервале функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда в точках

непрерывности функция представляется интегралом Фурье

f (x) S(x) 1


	0

f (t)cos (x t)dt)d .

В точках разрыва функции интеграл Фурье равен полусумме левого и правого пределов функции.

Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции f (x) в ряд Фурье на отрезке l, l , подставим в разложение коэффициенты ряда Фурье, получим

f (x)

an cos nx

bn sin

n 1

f (t)dt 1

f (t) cos nx cos

nt sin

nx sin

nt dt

n 1

f (t)dt 1

f (t)cos n(x t) dt .

n 1

229

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025527 Кб2ВЯЗАНИЧЕВ.docx
#
09.02.2015397 Кб74гаврильев.doc
#
01.09.20191 Мб5ГАз 24 история.docx
#
10.02.20159 Мб43ГАЗ М20. Каталог запасных частей.pdf
#
24.05.201550 Кб27галилей.docx
#
23.03.20162 Мб347Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1).pdf
#
15.11.20191 Мб24гаусс_пучки 04.02.08_1.doc
#
24.11.20181 Мб10гаусс_пучки 04.02.08.doc
#
15.11.20191 Мб24ГВГ-(лр).doc
#
15.11.201917 Мб30ГЕНДЕР целиком.doc
#
01.05.2025211 Кб3Гендерная лингвистика.doc