Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

С.В. Галкин

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

С.В. Галкин

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Допущено Учебно-методическим объединением вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по машиностроительным специальностям

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

УДК 517.5(075.8) ББК 22.161.5

Г16

Рецензенты: С.А. Агафонов, В.А. Гречихин

Галкин С.В.

Г16 Теорияфункцийкомплексногопеременногоиоперационное исчисление: учеб. пособие для вузов / С.В. Галкин. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 240 с. : ил.

Рассмотрены два раздела общего курса математики для технических университетов: «Теория функций комплексного переменного» и «Операционное исчисление», а также теория числовых рядов, теория поля, рядыФурье ипреобразованиеФурье.

Приведены основные понятия и теоремы, доказательства теорем, примеры.

Для студентов 1–4-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех факультетов.

УДК 517.5(075.8) ББК 22.161.5

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии излагаются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления. По этим дисциплинам написано довольно много хороших учебников и задачников. Это книги для студентов университетов (см., например, [1, 2]) и втузов (см., например, [3, 4]). Они написаны более 20 лет назад и стали библиографической редкостью. Сравнительно недавно коллективом профессоров и преподавателей МГТУ им. Н.Э. Баумана (научные редакторы, профессора В.С. Зарубин и А.П. Крищенко) написана серия учебников по математике для технических университетов, в ее выпусках X и XI [5, 6] подробно рассматриваются вопросы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления.

Сами по себе эти разделы очень интересны. Ведь по теореме Фробениуса только четыре алгебраические структуры (действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октавы) являются единственными алгебрами над полем действительных чисел. В ассоциативных октавах — кентаврах [7] — прекрасно описывается окружающая нас реальность, а ее обобщение — в работе [8]. Поскольку умножение на кентавр — это движение, изменение состояния [8], кентавры можно считать «последней» структурой, обеспечивающей алгебраическую замкнутость, т. е. отсутствие влияния на внешнюю среду и, следовательно, отсутствие противодействия с ее стороны.

Операционное исчисление, если его рассматривать с общих позиций, вовсе не имеет только того прикладного смысла, который придается ему со времен Хевисайда. Оно позволяет не только решать дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, но и превращать процессы (дифференцирование и интегрирование) в алгебраическиеоперации.

Чтобы осмыслить эти проблемы, студентам важно знать математические основы и связи этих основ. Основное в обучении и на-

3

учной работе — умение выделять главное в его наибольшей простоте и подбирать наиболее простые, но достаточные для решения проблемы математические методы. Нужно уметь еще понять, насколько упрощена проблема в модели, и правильно оценить погрешность упрощения.

Хотелось бы иметь учебник, кратко, но строго излагающий основные вопросы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление, связи и идейные аналогии их с другими разделами математики, перспективы развития и возможные приложения. Попыткой создания такого учебника является настоящее учебное пособие, в котором наряду с основными вопросами функций комплексного переменного и операционного исчисления в приложениях рассматриваются тесно связанные с ними разделы — теория числовых рядов, теория поля, ряды Фурье и преобразование Фурье.

Ряды в теории функций комплексного переменного основаны на числовых рядах функций действительных переменных, и часто исследование сходимости основано на тех же теоремах. А на рядах в теории функций комплексного переменного — теории аналитических функциях — основано все; сама аналитическая функция есть сумма степенного ряда. Теория вычетов и вычисление интегралов в комплексной области базируются на теореме Лорана, а она, в свою очередь, — на рядах. Поэтому в качестве первого приложения в учебное пособие включены числовые ряды.

Теория поля, потенциальные и соленоидальные поля, характеристики скалярных и векторных полей, дивергенция, ротор, потенциал не только используются в теории функций комплексного переменного, но и служат основой дифференциального исчисления в функциях комплексного переменного и обобщениях — кватернионах и октавах. Например, произведение двух кватернионов содержит скалярное и векторное произведения, а применение к кватерниону оператора набла сводится к взятию градиента, ротора и дивергенции от составляющих кватернион скалярного и векторного полей. Кроме того, операции с комплексными потенциалами сводятся к операциям теории поля. Основные теоремы теории поля (теорема Остроградского — Гаусса и теорема Стокса) используются в доказательствах теорем и приложениях теории функций комплексного переменного. Поэтому в качестве второго приложения в учебное пособие включена теория поля.

4

Операционное исчисление — второй основной раздел учебного пособия — связан и с рядами, и с интегральными преобразованиями. Задача о среднем квадратичном приближении функции приводит к рядам Фурье и далее к интегралу и преобразованию Фурье. Применяя преобразование Фурье к более широкому классу функций, возрастающих не быстрее, чем экспонента, приходим к операционному исчислению с его инженерными приложениями. Поэтому в качестве третьего приложения в учебное пособие включены основы рядов Фурье и преобразования Фурье.

Цель учебного пособия состоит в том, чтобы наряду с усвоением рассматриваемых разделов студенты поняли связь различных разделов математики с этими основными разделами, единство математических методов и универсальность математики как языка естествознания и инструмента исследования.

Весь материал в основной части и в приложениях учебного пособия изложен кратко и доходчиво. Поэтому оно может использоваться студентами при подготовке к экзаменам и в научной работе как справочное пособие.

5

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.1.Комплексные числа и операции над ними

1.1.1.Три формы записи комплексных чисел

Комплексное число — это совокупность двух действительных чисел, соединенных символом i: z = x + iy. Такая форма записи называется алгебраической формой комплексного числа. Здесь x = Re z — действительная часть комплексного числа, y = Im z — мнимая часть, i — мнимая единица (i2 = —1). Умножив мнимую единицу

саму на себя, получим степени мнимой единицы: i0 = 1, i1 = i, i2 = — 1, i3 = —i, i4 = 1, i5 = i, i6 = —1, i7 = —i, i8 = 1… Значения степеней повторяются через 4, например: i23 = i20 i3 = —i, i61 = i60 i = i и т. д.

Комплексное число можно изобразить точкой на комплексной плоскости — плоскости, в которой вводится декартова система координат. Действительную часть комплексного числа x откладывают на действительной оси (оси абсцисс), мнимую часть y — на мнимой оси (оси ординат).

Введем в комплексной плоскости полярную систему координат и определим полярные координаты , через декартовы коорди-

наты x, y с помощью следующих соотношений:

6

Декартовы координаты определяются через полярные координаты гораздо проще:

x cos ; y sin .

Используя координаты , , комплексное число можно запи-

сать в тригонометрической форме: z cos isin .

Комплексному числу, как точке на комплексной плоскости, можно поставить в соответствие ее радиус-вектор. Полярная коор-

( arg z) .

Аргумент определяется так сложно, потому что arctg( ) имеет

числа на всей комплексной плоскости необходимо обеспечить возможность изменения полярного угла в диапазоне , .

Пример. Записать комплексное число z 2 в тригонометрической форме.

Имеем 2, , z 2 cos isin .

В теории функций комплексного переменного часто используется формула Эйлера ei cos isin . Это одна из самых красивых и фундаментальных формул в математике. Достаточно ска-

7

(3 2i)( 1 i) ( 3 2) ( 2 3)i 5 i;

Умножение или деление комплексных чисел оказывается более удобным выполнять в тригонометрической или показательной формах:

Из приведенных соотношений можно вывести правило: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении комплексных чисел их модули

делятся, а аргументы вычитаются.

Особенно удобно использовать тригонометрическую и показательную формы при возведении комплексного числа в степень:

zn nein n cos n isin n . Здесь правило умножения комплексных чисел применено n раз. В то же время из определения комплексного числа следует равенство zn n cos isin n. Из

сопоставления этих выражений следует знаменитая формула Му-

авра:

cos isin n cos n isin n .

Ее удобно применять для выражения синусов и косинусов кратных углов через степени синусов и косинусов самого угла. Например, для тройного угла запишем

cos3 isin 3 cos isin 3

cos3 3i cos2 sin 3cos sin2 isin3 .

9