Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

допустимы только разрывы первого рода, разрывы второго рода не допускаются.

2. Условие физической реализуемости: f t 0 при t 0.

3. Функция f t не может расти быстрее экспоненты: существуют константы M , s0 , такие, что выполняется неравенство f t Mes0t, где s0 – показатель роста.

Обсудим эти условия, чтобы функцию можно было разложить в тригонометрический ряд Фурье, она должна удовлетворять условиям Дирихле (см. приложение П3). В теории рядов Фурье можно перейти к преобразованию Фурье, которое тесно связано с преобразованием Лапласа. Если исследовать ограниченные функции, то вполне достаточно использовать преобразование Фурье. Преобразование Лапласа позволяет исследовать возрастающие функции, но возрастающие не быстрее экспоненты. Это важно, так как дифференциальные уравнения, описывающие реальные процессы, часто содержат возрастающие во времени решения, в основном экспоненты. Нужно только уметь правильно определить показатель роста. Например, для ограниченных функций его можно считать нулем.

В операционном исчислении для обеспечения физической реализуемости любая функция умножается на функцию Хевисайда

1 при t 0;

1 t t

0 при t 0,

т. е. на единичную функцию. Всегда считают f t f t 1 t . Поэтому условие 2 выполнено.

5.1.2. Теорема об области существования изображения

Доказательство. Аналитичность изображения следует из возможности дифференцирования изображения как интеграла по параметру. Найдем область комплексной плоскости, в которой определено изображение (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Вычислим модуль функции e pt:

интеграл расходится и изображение не существует, следовательно,

121

изображение существует в полуплоскости Re p s s0 , где s0 – показатель роста функции (см. подразд. 5.1.1). Теорема доказана.

Следствие. Если F p – изображение, то lims F p 0. Доказательство. Из оценки

F p M s s0

следует lims F p 0, если Re p s s0 .

Найдем изображения по Лапласу единичной функции и экспоненты:

5.2. Теоремы линейности, подобия, смещения

Теоремы линейности, подобия и смещения являются свойствами преобразования Лапласа.

При доказательстве теорем используем свойства интеграла –

правой части преобразования Лапласа L f t f t e pt dt. По-

0

сле доказательства каждой теоремы (свойства), будем отыскивать по этим теоремам изображения для основных элементарных функ-

ций, составляя тем самым таблицу оргиналов и изображений.

Теорема линейности. Преобразование Лапласа линейно:

Здесь и в остальных теоремах вводятся обозначения для изображений:

122

F p L f t , G p L g t .

Доказательство. Свойство линейности преобразования Лапласа является следствием линейности интеграла:

Следствие. Преобразование Лапласа от линейной комбинации функции равно линейной комбинации изображений функций:

Пример. Найти изображения по Лапласу тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса.

В подразд. 5.1.2 выведена формула изображения экспоненты

123

Пример. Найти изображения для заданных оригиналов:

124

Здесь Re p Re s0 по теореме об области определения изо-

бражения.

Пример. Найти изображения для заданных оригиналов:

Найденные в примерах изображения вместе с их оригиналами представляют собой таблицу оригиналов-изображений, которая бу-

дет пополняться послеизложения теорем операционного исчисления. Используя полученную в этом разделе таблицу, найдем для за-

5.3. Теоремы о дифференцировании и об интегрировании

5.3.1.Теорема о дифференцировании оригинала

Доказательство. Найдем изображение производной f t :

p p pL f n 3 t f n 3 0 f n 2 0 f n 1 0

pnF p pn 1 f 0 pn 2 f 0 ... pf n 2 0 f n 1 0 .

Найдем, например, изображение второй производной:

f t ~ p2 F p pf 0 f 0 .

126

5.3.2. Теоремы о начальном и конечном значениях

Теорема о начальном значении. В условиях теоремы о диффе-

ренцировании оригинала справедливо соотношение limt 0 f t

lim p pF p .

Доказательство. По теореме о дифференцировании оригинала

L f t f t e pt dt pF p f 0 .

0

Производная f t является оригиналом, поэтому lim p L f t 0.

Следовательно,

lim p pF p f 0 limt 0 f t .

Теорема о конечном значении. В условиях теоремы о диффе-

ренцировании оригинала справедливо соотношение limt f t

= lim p 0 pF p .

Доказательство. По теореме о дифференцировании оригинала

Предел правой части равен

127

lim p 0 pF p limt 0 f t .

Приравнивая пределы правой и левой частей равенств, получаем

limt f t lim p 0 pF p .

5.3.3.Теоремы об интегрировании оригинала,

одифференцировании и об интегрировании изображения

Теорема об интегрировании оригинала. Пусть f (t) ~ F ( p),

t

Доказательство. Обозначим t f t dt. Эта функция

0

является оригиналом (проверьте условия, которым должен удовлетворять оригинал, см. подразд. 5.1.1). Вычислим 0 0 . Обозна-

чим L t Ф p . По теореме о дифференцировании оригинала получим

f t t ~ L t pФ p 0 F p .

Так как 0 0, то справедливо равенство

Ищем изображения степенных функций последовательно при n = = 0, 1, 2,…:

Теорема о дифференцировании изображения. Пусть f (t) ~ F (p) ,

тогда tf t ~ F p .

Доказательство. Дифференцируем обе части соотношения

Пример. Найти изображение функции t2et двумя способами.

129