Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

.pdf
Скачиваний:
341
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
1.65 Mб
Скачать

равномерно сходится внутри области V. Тогда сумма этого ряда S z – аналитическая функция в области V.

Доказательство. Выберем произвольный кусочно-гладкий контур внутри области V и проинтегрируем ряд. Это возможно

по теореме о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда. По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящегося

 

 

 

ряда имеем S z dz un z dz un z dz 0 . Каждое

 

n 1

n 1

слагаемое в правой части равенства равно нулю в силу интегральной теоремы Коши. Тогда по теореме Мореры сумма ряда S(z) – аналитическая функция в области V. Теорема доказана.

Теорема о почленном дифференцировании. Пусть un (z) – ана-

 

 

 

 

 

литические функции в области V. Пусть ряд

un (z) равномерно

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

сходится внутри области V. Тогда ряд un (z)

можно почленно

 

n 1

 

k

 

 

 

 

 

дифференцировать любое число раз:

un

z

unk z , полу-

n 1

 

 

n 1

чая ряд, равномерно сходящийся внутри области V к аналитической функции.

Доказательство. Выберем произвольный кусочно-гладкий контур внутри области V. Выберем произвольную точку z0 внутри

контура . Запишем в этой точке сумму ряда un (z0 ) S(z0 ). За-

n 1

пишем формулу производной k-го порядка для суммы ряда (следствие из интегральной формулы Коши). Проведем в ней почленное интегрирование, получим равенство

 

 

k!

 

 

S z

 

k!

1

 

 

S k z0

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

un z dz

2 i

 

z z0

k 1

2 i

z z0

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

un z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz unk

z0 .

 

 

 

 

 

z z0 k 1

 

 

 

 

 

 

n 1

 

n 1

 

 

 

 

 

 

70

В силу произвольности точки z0 внутри контура и произвольности контура внутри области V полученное соотноше-

ние справедливо в произвольной точке z внутри области V. Равномерную сходимость ряда можно доказать, оценивая ос-

таток ряда [1]. Аналитичность производной S k z следует из существования полученной почленным интегрированием производной S k 1 z в произвольной точке z внутри области V. Теорема доказана.

2.1.5. Сходимость степенных рядов

Степенные ряды сn z z0 n – это частный случай функ-

n 0

циональных рядов, в которых члены ряда представляют собой степени отклонения переменного z от некоторой фиксированной

точки плоскости z0 (центра сходимости ряда). Степенные ряды

действительного переменного сходятся в интервале

 

x x0

 

R,

 

 

где R – радиус сходимости ряда. Точно так же степенной ряд

комплексного переменного сходится на множестве

 

z z0

 

R,

 

 

только в комплексных числах это множество представляет собой круг без границы. Сходимость ряда на границе круга исследуется отдельно. Эти утверждения основаны на теореме Абеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема Абеля. Если степенной ряд сn z z0 n

сходится в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

точке z1 z0 , то он абсолютно сходится в круге

 

 

z z0

 

z1 z0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если степенной ряд сn z z0 n

расходится в точке

z1 z0 , то

 

 

 

 

 

 

n 0

z z0

 

 

 

z1 z0

 

.

 

 

 

 

он расходится во внешности круга:

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Рассмотрим два случая.

 

 

 

 

 

 

 

Случай 1. Пусть ряд сходится в точке z1 z0

и выполнено не-

равенство

 

z z0

 

 

 

z1 z0

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как ряд сходится в точке z1 z0 , то по необходимому

признаку сходимости ряда сn z1 z0 n 0. Отсюда следу-

n

71

ет, что cn z1 z0 n 0. Тогда для любого числа 0 суще-

n

ствует N , такое, что для любого числа n N выполнено неравенство c n z1 z0 n .

Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рас-

смотрим ряд модулей членов ряда: cn z z0 n

член ряда модулей:

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn z z0

n

 

 

 

сn

z z0

n

z1 z0

n

 

 

 

cn z1 z0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

z0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0 q

 

 

z

z0

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Оценим общий

 

z z0

 

n

qn ,

 

 

 

 

 

 

 

z

z

0

 

 

n

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Ряд модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконеч-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но убывающая геометрическая прогрессия

 

qn , 0 q 1 ). Сле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

довательно, исходный ряд в области

 

z z0

 

 

 

z1 z0

 

 

сходится аб-

 

 

 

 

солютно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 z0 и

 

Случай

2.

 

 

 

Пусть

ряд расходится

 

в

точке

 

z z0

 

 

 

z1

z0

 

 

 

. Если ряд сходится в точке z,

то по доказанному

 

 

 

 

в случае 1 он должен абсолютно сходиться в точке

z1 , следова-

тельно,

сходиться в точке z1 z0 . Это противоречит тому, что ис-

ходный ряд расходится в точке

z1 z0 , следовательно, исходный

ряд расходится в области

 

z z0

 

 

 

 

z1 z0

 

. Теорема доказана.

 

 

 

 

 

Замечание. Казалось бы, что по признаку Вейерштрасса в

области

 

 

 

z z0

 

 

 

 

 

z1 z0

 

 

 

исходного ряда

 

сходится

равномерно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако в доказательстве теоремы знаменатель геометрической прогрессии зависит от z ( q q(z) ), а в признаке Вейерштрасса

требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек z рас-

72

сматриваемой области, т. е. знаменатель q не должен зависеть от

z. Поэтому нельзя утверждать, что ряд в области

 

z z0

 

 

 

z1 z0

 

 

 

сходится равномерно. Однако если удается выбрать знаменатель

 

 

 

 

 

 

не зависящий от z

 

 

z

z

0

 

 

q1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прогрессии,

 

 

 

 

 

 

 

1

, то в области

 

 

 

 

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

q1

 

z1

z0

 

степенной ряд будет сходиться равномерно по

 

 

 

 

признаку Вейерштрасса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1.6. Определение радиуса сходимости степенного ряда

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность

 

 

n

| zk z0 | , такую, что в точке

zk степенной ряд сn zk z0

 

n 0

 

расходится. Если выбрать zk z0 , то степенной ряд будет сходиться

(ряд нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел, т. е.

существует число R limk zk z0 .

Такоечисло R называетсярадиусомсходимостистепенногоряда.

Следовательно, степеннойрядабсолютносходитсявкруге z z0 R,

которыйназываетсякругомсходимостистепенногоряда.

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри круга

сходимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть выполнено неравенство

 

z z0

 

 

 

 

 

R1 R. Выберем

 

R2:

R1 R2 R, например, R2 1 R1

R .

На

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

окружности

 

z1 z0

 

R2

степенной ряд сходится абсолютно, так как

 

 

эта окружность лежит внутри круга сходимости. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда на этой окружности модуль общего члена степенного ряда стремится к нулю при увеличении номера

члена ряда

 

 

c

 

 

 

z

z

 

 

n

 

c

 

Rn 0

 

. Для любого числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

1

 

0

 

 

 

n

 

2 n

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 существует

 

N ,

 

 

такое, что для любого n N выполнено

неравенство

 

c

 

Rn .

 

 

 

Рассмотрим

ряд

модулей членов ряда:

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn z z0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Оценим общий член ряда модулей:

n 0

 

 

cn z z0

n

 

 

 

 

 

сn

 

z z0 n

 

 

z1 z0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

z0 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

z z

0

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Rn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

Rn

1

qn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

z

z

0

 

 

n

 

 

n

 

 

2

R2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0 q R1 1.

R2

Ряд модулей исходного ряда сходится равномерно по признаку Вейерштрасса (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая

 

 

 

 

 

 

геометрическая прогрессия

 

qn ,

0 q 1). Следовательно, ис-

 

 

 

 

n 0

 

ходныйрядвобласти

 

z z0

 

R1 R сходитсяравномерно.

 

 

Следствие. Внутри круга сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании (по любой кусочно-гладкой дуге, принадлежащей кругу сходимости) и дифференцировании ряда.

Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.

Доказательство. Рассмотрим ряд модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и применим к нему признак Даламбера:

 

 

c

 

 

 

z z

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

n 1

 

 

 

 

0

 

 

 

z z

 

lim

 

 

 

n 1

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого неравенства найдем радиус сходимости степенного ряда:

74

R

1

 

 

 

 

 

 

 

.

limn

 

cn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Продифференцируем почленно исходный степенной ряд:

ncn z z0 n 1,

n 1

перейдем к ряду модулей и применим признак Даламбера:

 

 

n 1

 

c

 

 

 

z z

 

 

n

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

n

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

z z

0

lim

 

 

n 1

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

n

c

 

 

z z

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого неравенства найдем радиус сходимости для ряда производных:

R

1

 

 

 

 

 

 

 

.

limn

 

cn 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Он оказался тем же самым, что и радиус сходимости для исходного степенного ряда. Поэтому при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не изменяется. Он не изменяется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

Определив радиус сходимости степенного ряда R, находим

круг сходимости степенного ряда

 

z z0

 

R. В этом круге сумма

 

 

степенногоряда являетсяаналитическойфункцией.

Теорема об аналитичности суммы степенного ряда. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в его круге сходимости.

Доказательство. Члены степенного ряда – аналитические функции, а сам степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости. Следовательно, выполняются условия теоремы об аналитичности суммы ряда (см. подразд. 2.1.4), из которой следует справедливость рассматриваемой теоремы.

75

2.1.7. Сходимостьстепенногоряданаграницекругасходимости

Рассмотрим ряд модулей членов исходного степенного ряда на

границе круга сходимости степенного ряда: cn Rn . Справедли-

n 0

вы следующие утверждения:

1)если ряд модулей на границе круга сходимости сходится, то исходный степенной ряд абсолютно сходится на всей границе. В самом деле, этот ряд является мажорантным для степенного ряда в любой точке границы;

2)если limn cn Rn 0, то исходный степенной ряд расходится

на всей границе. В этом случае lim

n

c

z z

0

n 0,

 

z z

0

 

R и

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

не выполняется необходимый признак сходимости для исходного степенного ряда на всей границе круга сходимости. Поэтому исходный степенной ряд расходится на всей границе;

3) если ряд модулей на границе круга сходимости расходится, но limn cn Rn 0, то исходный степенной ряд сходится в одних

точках границы и расходится в других. В этом случае надо исследовать сходимость числового ряда в каждой точке границы.

 

z 1 n

 

z 1 n

 

z 1 n

Пример. Ряды

n

,

n

 

2

,

n

иллюстри-

n 1

3

n 1

3

n

 

n 1

n 3

 

руют приведенные выше утверждения. Первый ряд расходится на всей границе z 1 3 , так как на ней не выполняется необходи-

мый признак сходимости ряда; второй ряд сходится на всей границе, так как на границе сходится знакоположительный ряд модулей членов исходного ряда; третий ряд сходится в одних точках границы и расходится в других.

 

 

2.2. Теоремы Тейлора и Лорана

 

 

 

 

 

2.2.1. Ряд Тейлора

 

 

Рядом

Тейлора называется степенной

ряд вида

 

f n z0

 

n

 

 

 

 

z z0

 

(предполагается, что функция

f z является

n!

 

n 0

 

 

 

 

бесконечно дифференцируемой).

76

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при z0 0, т. е. ряд

 

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

zn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. СтепеннойрядявляетсярядомТейлорадлясвоейсуммы.

 

Доказательство. Пусть функция является суммой степен-

ного ряда

 

 

 

n

 

и степенной ряд сходится в кру-

f z cn z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

ряд значение z z0 , полу-

ге

 

z z0

 

R.

Подставим

 

в

 

 

 

 

 

чим f z0 c0 . Поскольку сумма степенного ряда – функция

аналитическая (см. подразд. 2.1.6), можно дифференцировать функцию, а так как степенной ряд сходится равномерно внутри круга сходимости, можно его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же круге, поскольку радиус сходимости при дифференцировании не изменяется. Поэтому

 

n 1 будет фунцией

сумма ряда производных f z ncn z z0

n 1

 

аналитической в том же круге. Ее вновь можно дифференцировать, дифференцируя почленно степенной ряд, получая аналитическую функцию, и т. д. Отсюда следует, что если аналитическая функция является суммой степенного ряда, то она является бесконечно дифференцируемой функцией. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием:

f z0 c1;

 

 

n 1 cn z z0

n 2 ; f z0 2 1c2 ;

f z n

 

f z0

 

n 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 3

 

c2

 

; f z n n 1 n 2

cn z z0

 

;

2!

 

 

 

n 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z0 3

2 1c3;

c3

 

f z0

 

.

 

 

 

3!

Продолжив процесс вычисления, получим

сn f (nn) !z0 .

77

Это коэффициенты ряда Тейлора. Отсюда следует утверждение теоремы.

2.2.2. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций

Приведем формулы разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez

 

1 z

 

 

 

...

 

 

...

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

... 1 n

 

 

z

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n

 

z

2n 1

sin z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

;

 

 

 

 

(2n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

... 1 n

 

z

2n

 

 

 

 

 

 

 

1 n

z

2n

cos z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

shz z

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

(2n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

z

2n

 

 

 

 

 

 

z

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

chz 1

 

...

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ...

 

n 1

 

 

 

 

 

1 z 1 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn ...

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ...

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn ...,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

z

 

1,

R \ N.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особенно часто используются формулы для суммы бесконечно

убывающей геометрической прогрессии:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

z z2

... zn ,

z

1,

 

 

 

 

 

1 z

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1 z z2

... 1 n zn ,

 

z

 

1.

 

 

1 z

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как первые пять формул разложения в ряд Маклорена справедливы на всей действительной оси, то по теореме Абеля они справедливы и на всей комплексной плоскости (в круге бесконечного радиуса с началом координат). Некоторые полезные формулы могут быть получены почленным интегрированием и дифференцированием степенных рядов для элементарных функций.

Например, интегрируя формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем

 

z

2

 

z

n 1

 

z

n 1

 

 

 

 

 

ln 1 z z

 

... 1 n

 

... 1 n

 

,

 

z

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n

1

2

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение. Используя формулы разложения основных элементарныхфункций, выведитеформулуЭйлера eiz cos z i sin z.

2.2.3.Теорема Тейлора о разложении аналитической функции

встепенной ряд

 

Теорема. Пусть функция

f z – аналитическая в односвязной

области

G

 

с кусочно-гладкой границей

Gг , z0 Int(G) . Тогда

функция

f z разлагается в степенной ряд по степеням z z0 в

круге

 

z z0

 

R z0 ,Gг , где z0 , Gг

– расстояние от точки

 

 

до границы области.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Точка z0 лежит внутри области G , по-

этому можно выбрать радиус

R R,

такой, что круг

 

z z0

 

R

 

 

целиком лежит в области G.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

точка

z

принадлежит

кругу

 

z z0

 

R (рис. 2.1). По интегральной форму-

 

 

ле Коши представим функцию интегралом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f z

 

 

 

 

 

d ,

R ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 i

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где R – окружность;

 

 

z

 

R.

 

Рис. 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79