Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

2. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

2.1. Числовые и степенные ряды

Бóльшая часть теорем из теории рядов функций комплексных переменных доказывается аналогично соответствующим теоремам из теории рядов действительных переменных (см. приложение П1). В приложении П1 довольно подробно рассматриваются числовые ряды, так как сходимость рядов комплексных чисел сводится к сходимости рядов их действительных и мнимых частей.

2.1.1. Сходимость числовых рядов

Числовой ряд zn называется сходящимся, если сходится по-

n 1

следовательность его частичных сумм Sn S, (Sn z1 z2 ...zn ). Используя определение предела последовательности, определение сходимости ряда можно записать так: для любого числа0 существует номер (натуральное число) N , такой, что для любых номеров (натуральных чисел) n N выполнено неравенст-

во Sn S .

необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды действительных

Доказательство. Доказательство следует из эквивалентности сходимости последовательности комплексных чисел Sn S

60

Sx Sy и сходимости последовательностей их действительных и мнимых частей {Snx} Sx , {Sny } Sy .

сходятся. Таким образом, пришли к противоречию. Замечание. Теорема «перекидывает мостик» между рядами

действительных переменных (см. приложение П1) и рядами ком-

дится, так как по признаку Лейбница сходятся ряды действительных и мнимых частей.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы числовой ряд zn

n 1

сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого 0

существует N2 , такое, что для любого n N2 , любого p 0

Выберем n N max N1, N2 . Тогда для таких номеров n выпол-

няются оба неравенства (для x и для y). Получим для любого n N оценку:

n 1

Теорема доказана.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (если

n 1

словой ряд, так как zn – неотрицательное действительное число.

62

этому исходный ряд абсолютно сходится.

2.1.2. Поточечная сходимость функциональных рядов

Функциональный ряд un z в каждой фиксированной точке

n 1

z представляет собой числовой ряд. Исследуя этот числовой ряд, можно выяснить, сходится или расходится функциональный ряд в данной точке z.

выполнено неравенство Sn z S z . Такая сходимость функ-

ционального ряда называется обычной или поточечной сходимостью. Отметим, что номер N зависит не только от , как в число-

вых рядах, но и от z, поэтому ряд может сходиться с разной скоростью в различных точках z.

63

Теорема (критерий Коши поточечной сходимости ряда).

Для того чтобы функциональный ряд un z сходился в точке z,

n 1

необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовало N , z , такое, что для любого n N, любого p 0 выполнено неравенство

Sn p z Sn z un 1 z un 2 z ... un p z .

Доказательство. Доказательство теоремы – это доказательство критерия Коши для последовательности частичных сумм ряда комплексных чисел, которое, в свою очередь, сводится к доказательству критерия Коши для последовательности частичных сумм рядов действительных чисел – действительных и мнимых частей.

Множество точек z, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

положительный ряд, применим к нему признак Даламбера:

Ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости.

дугих точках не выполнен необходимый признак сходимости ряда, следовательно, ряд расходится.

z 1 3. Это следует из признака Даламбера или радикального

64

щается в ряд единиц. Он расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда. Следовательно, в любой точке границы области сходимости не выполняется необходимый признак сходимости для исходного ряда и на всей границе исходный ряд расходится.

z 1 3. Это следует из признака Даламбера или радикального

z 1 3. Это следует из признака Даламбера или радикального

ловно, так как условно сходятся ряды действительных и мнимых частей.

65

2.1.3. Равномерная сходимость функциональных рядов

Функциональный ряд un z сходится равномерно в области

метим, что в равномерно сходящихся рядах номер N зависит только от , как в числовых рядах, поэтому ряд сходится с одной

и той же скоростью в различных точках z области G.

Отметим, что в механике прямолинейное движение с одной и той же скоростью называется равномерным. Возможно, поэтому тот же термин используется для равномерной сходимости ряда.

Теорема (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для

нального ряда un z мажорируются (ограничиваются по моду-

n 1

лю) членами сходящегося знакоположительного числового ряда

функциональный ряд сходится равномерно в области G. Доказательство. Для сходящегося числового знакополо-

p 0 выполнено неравенство

66

cn 1 cn 2 ... cn p cn 1 cn 2 ... cn p .

Так как по условию теоремы выполнено неравенство un cn , то и для функционального ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда: для любого 0 существует N , та-

Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно в области G. Теорема доказана.

2.1.4. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов

Теорема о непрерывности суммы ряда. Пусть члены un (z)

функционального ряда un (z) – непрерывные функции в точке

n 1

z0 (внутренней точке области V). Пусть ряд un (z) сходится

n 1

равномерно в области V. Тогда сумма функционального ряда S(z) – непрерывная функция в точке z0 V .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в облас-

непрерывные функции в точке z0 , то и функции Sn (z) непрерывны в точке z0 как сумма конечного числа непрерывных функций.

67

S(z) S(z0 ) , т. е. сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке z0 V. Теорема доказана.

Теорема о почленном интегрировании. Пусть L V – кусоч-

но-гладкая дуга длиной l. Пусть функции un (z) непрерывны в об-

ласти V, пусть ряд un (z) равномерно сходится в области V к

Доказательство. Так как ряд un (z) равномерно сходит-

n 1

ся в области V, то его сумма S(z) непрерывна (теорема о непрерывности суммы ряда) и S S z dz.

L

68

Поскольку функции un (z) непрерывны, существует интеграл

un z dz. Составим ряд un z dz. Покажем, что он сходится

L n 1 L

неравенство Sn (z) S(z) l . Оценим разность суммы ряда интегралов и частичной суммы:

Теорема об аналитичности суммы ряда. Пусть члены ряда

un (z) – аналитические функции в области V. Пусть ряд un (z)

n 1

69