Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)
.pdfвидно, поэтому важно сформулировать утверждения как отдельное замечание.
1.5.2. Свойства интеграла
Приведем шесть основных свойств интеграла от функции комплексного переменного.
1. Линейность. Свойство линейности представляет собой совокупность двух свойств. Первое свойство иногда называют аддитивностью. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции, если все указанные интегралы существуют:
( f1(z) f2 (z))dz = |
f1(z)dz + |
f2 (z)dz. |
|
L |
L |
L |
|
Второе свойство называют однородностью, константумножитель можно вынести из-под знака интеграла:
f (z)dz = f (z)dz.
L L
Свойство линейности присуще линейным операторам вообще и интегралу в частности.
2. Аддитивность по множеству. Пусть дуга L представляет собой объединение двух дуг: L L1 L2. Тогда интеграл по объ-
единению дуг равен сумме интегралов по этим дугам:
|
f (z)dz f (z)dz f (z)dz. |
|
L |
L1 |
L2 |
Это свойство присуще всем интегралам как аддитивным функциям множества.
Свойства 1 и 2 являются фундаментальными свойствами всех интегралов: определенного, двойного, тройного, криволинейного, поверхностного. Поэтому они доказываются одинаково для всех интегралов через сами основы построения интегралов. Свойства доказываются для интегральных сумм и осуществляется предельный переход с использованием теорем о пределах.
40
3. Ориентируемость. Интеграл по дуге L равен интегралу по дуге (—L), взятому со знаком минус:
f (z)dz f (z)dz,
L |
L |
где дуга (–L) — та же дуга L, но проходимая при интегрировании в другом направлении. Доказательство основано на том, что для ду-
ги L zk zk zk 1, а для дуги ( L) zk zk 1 zk . Проводится доказательство через интегральные суммы, как в определенном и криволинейных интегралах.
4. Модуль интеграла не превосходит интеграла модуля функции:
f (z)dz f (z) dl.
L L
Отметим, что в правой части неравенства стоит криволинейный интеграл от функции f (z) , принимающей только действи-
тельные значения. Докажем это свойство. Оценим модуль интегральной суммы:
n |
n |
|
n |
|
n |
||||||||||
f k zk |
|
|
f k zk |
|
|
|
f k |
|
zk |
|
|
|
f k |
|
lk . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k 1 |
k 1 |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
Переходя к пределу при условии max lk 0, получим искомое неравенство:
f (z)dz f (z) dl.
LL
5.Оценка интеграла. Если функция ограничена по молулю, f z M , то модуль интеграла от этой функции можно оценить
константой Ml:
41
f z dz Ml,
L
где l — длина дуги L.
Докажем это свойство. По свойству 4 модуль интеграла можно оценить так:
f z dz Mdl Ml.
LL
6.Интеграл от константы. Интеграл от константы можно вычислить следующим образом:
Kdz K B A .
AB
Докажем это свойство. Достаточно показать, что dz B A,
AB
и использовать свойство линейности:
n
zk z1 z0 z2 z1 z3 z2 ...
k 1
zn zn 1 zn z0 B A.
Переходя к пределу в этом равенстве при условии max lk 0, получаем dz B A .
AB
1.5.3. Три формы записи интеграла
Запишем интеграл как предел интегральных сумм, выделив действительные и мнимые части функции и приращений аргумента:
42
|
n |
f z dz limmax lk 0 f k zk |
|
L |
k 1 |
|
n |
limmax lk 0 u k iv k xk i yk |
|
|
k 1 |
|
n |
limmax lk 0 u k xk v k yk i v xk xk u xk yk |
|
|
k 1 |
u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy, |
|
L |
L |
т. е. получили первую форму записи интеграла от функции ком-
плексного переменного в виде двух криволинейных интегралов.
Параметризуем дугу:
L: x x t ;
y y t .
Поставим в соответствие начальной и конечной точкам дуги начальное и конечное значения параметра t:
L AB, |
A x t0 , y t0 , B x t1 , |
y t1 . |
Запишем дифференциалы dx, dy через дифференциал параметра dt:
dx x t dt, dy y t dt.
Подставим параметрические представления переменных и дифференциалов в первую форму записи:
|
t |
|
|
|
|
f z dz 1 |
u x t , |
y t x t v x t , |
y t y t dt |
||
L |
t0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
i 1 |
v x t , |
y t x t u x t , |
y t y t dt, |
||
t0 |
|
|
|
|
|
43
т. е. получили вторую форму записи интеграла от функции ком-
плексного переменного в виде двух определенных интегралов.
Параметризуем дугу:
L: z z t , z t0 A, z t1 B
и дифференциал dz z t dt. Подставим эти параметрические представления непосредственно в исходный интеграл:
t1
f z dz f z t z t dt,
L t0
т. е. получили третью форму записи интеграла от функции ком-
плексного переменного в виде определенного интеграла от комплекснозначной функции действительного переменного.
Пример. Вычислить z2dz
|
|
|
|
L |
|
|
|
по трем различным дугам: 1) OB: |
|
|
|
|
y = x; 2) OB: y = x2; 3) ломаной |
|
|
|
|
OAB (рис. 1.15). |
|
|
|
|
Вычислим интеграл по пер- |
|
|
|
|
вой дуге OB: y = x. Воспользуем- |
|
|
|
|
ся третьей формой записи инте- |
|
|
|
|
грала, параметризуя дугу OB: |
|
|
|
|
z 1 i t, O(0, 0) ( t |
= 0), B(1, i ) |
|
Рис. 1.15 |
|
(t = 1), z2 = (1 + i)2 t2, dz = (1 + i) dt. |
|
|
|
|
Интеграл равен |
|
|
1 |
1 |
1 i 3 = 1 1 3i 3 i |
2 i 1 . |
z2dz = 1 i 3 t2dt |
||||
L |
0 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
||
Вычислим интеграл по второй дуге OB: y = x2. Подставим выражение y = x2 в подынтегральную функцию, получим
z2 x iy 2 x2 y2 2ixy, u x2 y2 , v 2xy, y x2, dy 2xdx, 0 x 1.
44
По первой форме записи интеграла имеем
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
1 |
2xydx x2 y2 |
2xdx |
|
f z dz |
y2 dx 2xy2xdx i |
|||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 x4 4x4 |
dx i 2x3 2x3 2x5 dx |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
2 |
i 1 . |
|
|
|
3 |
5 |
|
i 1 |
3 |
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим интеграл по ломаной OAB (см. рис. 1.15). Она представляет собой объединение двух отрезков: OA: y = 0 (dy = 0) и AB: x = 1 (dx = 0). Поэтому вычислим интеграл как сумму интегралов по отрезкам:
f z dz f z dz f z dz
L OA AB
(u iv)dx v iu dy
OA AB
x |
2 |
dx |
2 y i 1 y |
2 |
dy |
1 |
|
1 i |
1 |
|
|
2 |
(i 1). |
|
|
3 |
|
3 |
i |
3 |
|||||||
OA |
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
Как оказалось, результат во всех трех случаях один и тот же. В чем же здесь дело? Это случайность или закономерность? Ответ на этот вопрос дает интегральная теорема Коши.
1.6.Основные теоремы об интегралах
1.6.1.Интегральная теорема Коши (для односвязной области)
Теорема Коши. Пусть G — односвязная область, функция f (z) — аналитическая функция в области G, L — кусочно-гладкий контур,
принадлежащий области G. Тогда f z dz 0.
L
45
Рис. 1.16
Представим интеграл
Теорему можно сформулировать и так: интеграл от аналитической функции вдоль кусочно-гладкого контура равен нулю.
Доказательство. Обозначим D внутренность контура L (рис. 1.16). Запишем формулу Грина:
|
Pdx Qdy |
|
Q |
|
P |
|
x |
dxdy. |
|||
L |
D |
|
|
y |
f z dz в первой форме записи через
L
два криволинейных интеграла:
f z dz = udx vdy i vdx udy.
L L L
Применим к каждому слагаемому в правой части этого равенства формулу Грина. В первом интеграле-слагаемом примем P = u, Q = = —v. По формуле Грина получим
|
|
|
|
v |
|
u |
udx vdy |
x |
dxdy 0, |
||||
L |
D |
|
|
|
y |
|
учитывая, что для аналитической функции f (z) выполнены условия Коши — Римана
u v , u v .x y y x
Во втором интеграле-слагаемом примем P = v, Q = u. По формуле Грина получим
|
|
|
u |
|
v |
vdx udy |
x |
dxdy 0, |
|||
L |
D |
|
|
y |
|
так как для аналитической функции f (z) выполнены условия Коши — Римана. Следовательно,
46
f z dz = udx vdy i vdx udy = 0.
L L L
Теорема доказана.
Следствие. Пусть L1, L2 — две кусочно-гладкие дуги в односвязной области G, соединяющие точки A, B. Пусть f (z) — аналитическая функция в области G. Тогда
f (z)dz f (z)dz.
L1 L2
Таким образом, интеграл от аналитической функции в односвязной области вдоль кусочно-гладкой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
Доказательство. Образуем контур L1 ( L2 ). По интегральной теореме Коши имеем f z dz 0. По свойствам ад-
дитивности и ориентируемости получим
f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz .
L1 L2 L1 L2
Следовательно,
f z dz = f z dz .
L1 |
|
L2 |
|
|
|
|
||
Следствие доказано. Поэтому результат, полученный в преды- |
||||||||
дущем примере (см. подразд. 1.5.3) не случаен. |
|
|
|
|
||||
1.6.2. Вычисление интеграла |
|
dz |
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
γ z - z0 |
|
|
|||
Вычислим интеграл |
dz |
|
, где контур |
|
— окружность |
|||
z z0 |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиусом с центром в точке z0 ; n — целое число.
47
Покажем, что точки z на контуре можно задать уравнением
z z0 ei , где |
|
0 |
— действительное число, 0 2 . В са- |
||||||||||||
мом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
ei |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ei |
|
|
|
cos isin |
|
|
|
cos2 sin2 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, контур — это геометрическое место точек комплексной плоскости, расположенных на расстоянии от точки z0 , т. е. это окружность радиусом с центром в точке z0.
Если n 0 , то по интегральной теореме Коши
|
dz |
|
= 0, |
z z0 |
n |
||
|
|
|
поскольку подынтегральная функция — аналитическая внутри контура .
Пусть n 0. Так как точка z лежит на контуре , то z z0 ei ,
dz i ei d . |
Перейдем к переменному . Пусть n 1. |
Вычислим |
|||||||||||||||||
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 |
|
i ei d |
|
2 |
|
i 1 n |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ni e i n 1 d |
|
e i n 1 |
0 |
||||
z z0 |
|
n |
|
|
n |
e |
in |
|
|
n 1 |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
по периодичности экспоненты. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть n 1. Тогда интеграл равен |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
2 iei |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
i d i d 2 i. |
|
|
||||
|
|
|
|
z z0 |
n |
e |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||||||
Таким образом, искомый интеграл равен
48
|
dz |
|
|
0 |
при n 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
z z |
|
n |
|
||
0 |
2 i при n 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
Этот пример очень важен, так как он используется при доказательстве основных теорем теории функций комплексного переменного: интегральной формулы Коши, основной теоремы о вычетах и др.
1.6.3. Интегральная теорема Коши для многосвязной области
Теорема Коши. Пусть кусочно-гладкие контуры 1, ..., n лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть f z — аналитическая функция в области между контурами и на самих этих конту-
n
рах. Тогда выполнено соотношение f z dz f z dz.
|
k 1 k |
Доказательство. Соединим контуры 1, ..., n линиями AB, CD, EK (рис. 1.17). По интегральнойтеореме Коши для односвязной
Рис. 1.17
области (см. подразд. 1.6.1) интегралы от аналитической функции f z по контуру ABpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA
равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях:
49