Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Здесь все частные производные вычисляются в точке x0 , y0 . Так

ношения приращений в двух последних скобках соотношения (1.2) для fz являются ограниченными величинами. Следова-

тельно, выражения в двух последних скобках соотношения (1.2)

— бесконечно малые величины при z 0 как произведения бесконечно малых величин на ограниченные величины. Обозна-

по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой величины. Поэтому

Умножая fz на z, получаем

f z0 f z0 z f z0 f z0 z z, z0 z,

где limz z0 z, z0 0 .

Следовательно, функция f z дифференцируема в точке z0 и ее производная в этой точке вычисляется по формуле

30

Достаточность доказана.

Условия Коши — Римана позволяют легко проверить дифференцируемость функции в точке.

1.4.3. Аналитичность функции

Функция называется аналитической в области, если она дифференцируема в этой области. Функция называется аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности.

Основные элементарные функции ez, sin z, cos z, shz, chz являются аналитическимифункциямина всей комплекснойплоскости.

Проверим, например, условия Коши — Риманадляфункции ez:

ez ex cos y iex sin y , ux ex cos y yv , uy ex sin y vx .

Условия Коши — Римана выполнены при любых значениях

переменных, функция ez является аналитической на всей комплексной плоскости.

Пример. Рассмотрим функцию z = x. Она не является дифференцируемой ни в одной точке, так как условия Коши — Римана не выполнены ни в одной точке комплексной плоскости:

u 1, v 0.

x y

Пример. Рассмотрим функцию

f z z Re z zx x iy x x2 ixy.

Проверим для нее условия Коши — Римана:

31

Они выполнены только в точке z = 0. Поэтому функция дифференцируема только в точке z = 0 и более ни в одной другой точке. Она не является аналитической ни в одной точке, поскольку для аналитичности кроме дифференцируемости в точке нужна еще дифференцируемость в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Рассмотрим функцию f z z x iy. Она не яв-

ляется дифференцируемой ни в одной точке, так как ни в одной точке условия Коши — Римана не выполнены:

u 1, v 1.

x y

1.4.4.Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции

Пусть функция z(t) комплекснозначная дифференцируемая в точке t.

Рис. 1.13

Рассмотрим точку z, дадим аргументу функции z(t) приращениеt, ему соответствует приращение z (рис. 1.13). Обозначим =

= arg z. Тогда

arg zt arg z .

При t 0 секущая переходит в касательную, отношение приращений стремится к производной, tg tg , где — угол

наклона касательной к графику z(t) в точке z. Тогда

32

Следовательно, наличие ненулевой производной z t означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным arg z t .

Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексного переменного f z . Пусть аргумент функции z является функцией t ( z z(t) ), где t — действительное число. То-

гда функция f (z) — комплекснозначная функция f z f z t

действительного переменного z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

Касательная к графику функции имеет угол наклона к действительной оси, равный arg f z t . По теореме о сложной функции

выполнено равенство f z t f z z t , поэтому справедливо

имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке z при

ееотображении посредством функции f z .

Так как

смысл коэффициента растяжения при отображении посредст-

вом функции f z . Все это справедливо в тех точках z, в которых производная f (z) отлична от нуля.

Если две кривые отображаются посредством аналитической функции f z f z 0 , то угол наклона касательной к каждой

кривой изменяется в точке z на один и тот же угол arg f z , по-

33

этому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

Пример. Рассмотрим линейное отображение f z azf z a . Оно сводится к повороту на угол arg a и растяжению

вa раз.

1.4.5.Задача о восстановлении аналитической функции по ее действительной или мнимой части

Пусть задана функция u x, y . Требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции f z , а если может, то восстановить эту функцию.

Пусть задана функция v x, y . Требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции f z , а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция f z .

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т. е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если f z — функция аналитическая, то выполнены условия Коши — Римана:

Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе — по y и складываем их. Получаем

2u 2u 0,x2 y2

34

следовательно, функция u x, y гармоническая. Дифференцируем

частным образом первое равенство по y, второе — по x и вычитаем из первого равенства второе. Получаем

2v 2v 0 ,x2 y2

следовательно, функция v x, y гармоническая. Теоремадоказана. Таким образом, если функция u x, y или функция v x, y не

являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

функции. Покажем, как можно восстановить аналитическую функцию по известной действительной части u x, y .

Восстановление аналитической функции по мнимой ее части v x, y проводится аналогично.

Можно указать три способа восстановления, несколько отличающихся друг от друга.

Первый способ. Используя условия Коши — Римана, записываем частные производные недостающей мнимой части и восстанавливаем ее частным интегрированием:

Сравнивая оба выражения для v, определяем a x , b y , C1,C2 . Затем восстанавливаем аналитическую функцию:

f z u x, y iv x, y Ci.

Замечание. При восстановлении по v x, y функция вос-

станавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

35

Второй способ. Используя условия Коши — Римана, записываем одну из частных производных и интегрируем ее частным образом:

(как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши — Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять к известной функции:

цию:

fz u x, y iv x, y Ci.

Впервых двух способах аналитическая функция восстанавливается как функция аргументов x, y. Гораздо приятнее получить ее

ввиде f(z).

Третий способ. Используем формулу для производной:

f z f z z x, y 0 dz.

Пример. Задана функция u x, y = ex cos y . Проверим, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действитель-

36

ной частью. Если это возможно, восстановим. (Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.)

Восстанавливаем мнимую часть аналитической функции. Применим первый способ. Из условий Коши — Римана найдем

частные производные искомой функции и проинтегрируем их частным образом:

Поэтому искомая функция имеет вид

f z ex cos y isin y + Сi = ez Ci.

Решим пример вторым способом. Используем условия Коши — Римана, затем проинтегируем одну из частных производных по одному из переменных:

v u ex cos y vy x

ex cos ydy a x C1 ex sin y x C1.

Продифференцировав полученное соотношение по другому переменному, получим дифференциальное уравнение для определения вспомогательной функции. Решив его, найдем мнимую часть аналитической функции, а затем и саму функцию:

37

v ex sin y x ex sin y x 0 x C2 ;x

v x, y ex sin y C;

f z ex cos y isin y Ci ez Ci.

Применим третий способ. Используя условия Коши — Римана, записываем производную аналитической функции:

Интегрируя, получаем искомую функцию:

f z ex cos y iex sin y z x, y 0 dz ez dz ez C.

Здесь С — комплексное число.

1.5. Интеграл от функции комплексного переменного

1.5.1. Определение интеграла

Рассмотрим кусочно-гладкую дугу L = АВ. Введем разбиение дуги точками А = z0, z1, …, zk –1, zk, …, zn = B. На каждом элементе дуги zk—1, zk отметим точку k (рис. 1.14). Обозначим lk дли-

ну элемента дуги zk – 1, zk. Рассмотрим непрерывную на дуге АВ и в некоторой ее окрестности функцию комплексного перемен-

ного f z . Вычислим f k .

n

Построим интегральную сумму f k zk , где zk zk zk 1.

k 1

Введем интеграл от функции комплексного переменного по дуге АВ как предел интегральной суммы при неограниченном измельчении разбиения:

38