Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

b

3) ( f(x), g(x)) = f (x)g(x)dx – скалярное произведение функ-

a

ций f x , g x , заданных на отрезке a,b .

Если в пространстве задано скалярное произведение, то, зада-

лать пространство нормированным.

Задавая метрику соотношением 0, x x , можно сделать

нормированное пространство метрическим.

Если в пространстве задано скалярное произведение, то в нем можно определить углы

cos f , g f g

и расстояния между элементами.

Гильбертовым пространством H называется полное, беско-

нечномерное, линейное пространство со скалярным произведением. Пространство полно, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится к элементу пространства. Элементы гильбертова пространства называются векторами (поэтому здесь и далее не ставим стрелки над векторами-элементами). Функции можно считать элементами гильбертова пространства – бесконечномерными векторами над осью действительных чисел. В самом деле, функция полностью определяется всеми своими значениями (при всех значениях аргумента), а их бесконечное число. Надо только ввести скалярное произведение элементов – функций

( f, g). Функции ортогональны, если ( f, g) = 0.

Система функций называется полной, если любой элемент пространства может быть разложен по этой системе (представлен в виде линейной комбинации ее элементов).

Теорема. Любая система из бесконечного количества попарно ортогональных функций полна в гильбертовом пространстве (без доказательства).

отрезке a,b , и рассматривать гильбертово пространство функций

L2 со скалярным произведением

210

для любых n или

k 1

Эти неравенства называются неравенствами Бесселя.

Так как функции k x k 1, 2, ... попарно ортогональны, то система таких функций полна. Поэтому функцию f x можно

представить в виде их линейной комбинации f dk k с коэф-

k 1

фициентами Фурье, т. е. в виде ряда Фурье. Вычислим скалярный квадрат функции, учитывая, что k , s 0, k s:

k 1

Если функции k не только ортогональны, но и ортонормированы, т. е. k , k 1, k 1, 2, ... , то равенство Парсеваля – это аналог теоремы Пифагора в бесконечномерном пространстве:

Следствие. Пусть выполнено равенство Парсеваля, пусть

limn n 0. Тогда limn dn 0.

Доказательство. Пусть выполнено равенство Парсеваля

k 1

213

П3.2. Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на отрезке -π, π

Тригонометрической системой функций называется система функций

12 , cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos nx, sin nx, ...

Это периодические функции.

Сформулируем идокажем два свойства периодическихфункций: 1) если функция f x имеет период T , то функция f x

Докажем это свойство. Запишем и преобразуем интеграл:

214

Доказательство. Вычислим скалярные произведения различных тригонометрических функций. Покажем, что эти скалярные произведения равны нулю:

если m n . Теорема доказана.

Вычислим скалярные квадраты элементов тригонометрической системы:

216

Составим ряд Фурье по тригонометрической системе функций:

П3.3. Условия Дирихле и теорема Дирихле

Сформулируем условия, при которых функция представляется рядом Фурье по тригонометрической системе функций, – условия

Дирихле.

1. Интервал, на котором определена функция, может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых функция непрерывна и монотонна.

217

2. Функция в области определения непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода.

Теорема Дирихле. Пусть функция f x задана на некотором

сегменте и удовлетворяет на нем условиям Дирихле. Тогда функция может быть разложена на этом сегменте в сходящийся к ней

ряд Фурье по ортогональной системе функций т. В точке непрерывности функции выполнено равенство f x S x , где S x – сумма ряда Фурье. В точке разрыва функции выполнено равенство

S x 12 f x 0 f x 0 .

Теорема принимается без доказательства.

П3.4. Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье

Теорема. Пусть функция f x определена на отрезке , ,

разлагается на нем в тригонометрический ряд Фурье и непрерывна на нем вместе со своими производными до (p – 1)-го порядка

включительно. Пусть f k f k , k 0, 1, 2, ..., p 1. Если p-я производная функции f p x кусочно-непрерывна в интервале , , то коэффициенты Фурье an , bn – бесконечно

малые функции по отношению к n1p .

Доказательство. Запишем выражения для коэффициентов ряда Фурье и проинтегрируем их по частям:

218

жая аналогичное интегрирование по частям в выражениях для ко-

b 1 a

n n n

для любых номеров n.

Из этих соотношений следует справедливость равенств

Из этих равенств можно получить аналогичное соотношение для коэффициентов bn. Поэтому

dn n1p dn p ,

где dn an или dn bn – n-й коэффициент Фурье. По следствию

из равенства Парсеваля выполнено соотношение dn 0 для

n

коэффициентов Фурье самой функции и ее производных. Следовательно,

Теорема доказана.

219