Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Для остальных смешанных производных доказательство аналогично.

Перейдем от п. 3 к п. 2, это следует из формулы Стокса. Перейдем от п. 2 к п. 1. Пусть точки A, B соединены двумя ду-

гами: L1 и L2. Тогда из них можно составить контур : L1 L2 ,

интеграл вдоль этого контура, согласно п. 2, равен нулю. Приведем необходимые выкладки:

0 P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

L1 L2

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

L1

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz.

L2

Поэтому

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

L1

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz.

L2

Перейдем от п. 1 к п. 4. Докажем, что функция

является потенциалом, т. е. выполняются соотношения

200

Докажем первое из этих соотношений, остальные доказываются аналогично. Запишем первую из частных производных:

Такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формы дуги. Поэтому можно в первом интеграле провести дугу через точку (x, y, z), чтобы в первом и втором интегралах сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точку с точкой (x, y, z). В первом интеграле выберем в качестве дуги, со-

единяющей точку (x, y, z) с точкой (x + x, y, z), отрезок прямой, параллельной оси OX. На этом отрезке y, z не изменяются, поэтому dy = 0, dz = 0, а разность криволинейных интегралов превращается в определенный интеграл по dx. Продолжим запись равенства (П2.3):

lim x 0 1x P(x x, y,z) x lim x 0 P(x x, y0 ,z0 ) P(x, y0 ,z0 ).

Здесь использована теорема о среднем для определенного интеграла. Остальные частные производные вычисляются аналогично.

201

Таким образом, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования и его можно вычислять по формуле

x2 , y2 , z2

Pdx Qdy Rdz

x1, y1, z1

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичная теорема справедлива для плоского векторного поля P P x, y , Q Q x, y , R 0 в условиях фор-

мулы Грина, доказательство теоремы проводится точно так же.

Теорема (формула) Ньютона – Лейбница. Пусть компоненты векторного поля непрерывны и непрерывно дифференцируемы в односвязной области с кусочно-гладкой границей. Если линейный интеграл не зависит от формы дуги интегрирования, то справедлива формула Ньютона – Лейбница

x2 , y2 , z2

Pdx Qdy Rdz V x2 , y2 , z2 V x1, y1, z1 ,

x1, y1, z1

где

x0 , y0 , z0

–потенциал векторного поля ( a grad V ).

Доказательство. Проведем дугу интегрирования через точку (x0, y0, z0). Это можно сделать, так как линейный интеграл не зависит от формы дуги. Получим

202

x1, y1, z1

Pdx Qdy Rdz V x2 , y2 , z2 V x1, y1, z1 .

x0 , y0 , z0

Замечание. Аналогичная теорема справедлива для плоского векторного поля P P x, y , Q Q x, y , R 0 в условиях формулы Грина, доказательство теоремы проводится точно так же.

П2.10. Потенциальное поле и его свойства

=grad V dr dV – полный дифференциал. Тогда Pdx Qdy

Rdz a dr dV – полный дифференциал. Поэтому свойства по-

тенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.

2. Циркуляция потенциального поля равна нулю. Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем

203

диента векторного поля и дивергенцию ротора векторного поля через оператор «набла»:

rotgrad 0;

divrot a a a 0.

Известно соотношение a b c b a c c a b . Перенеся это правило на действия с оператором «набла», получим

rotrota a a a( )

– оператор (скаляр-оператор) Лапласа. Поэтому справедливы соотношения

– произведение скаляр-оператора Лапласа и вектора a.

П2.12. Гармоническое поле и его свойства

Скалярное поле x, y, z называется гармоническим, если для него выполнено уравнение Лапласа

206

2 2 2 2 0.x2 y2 z2

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенци-

альное ( a grad ), а потенциал – гармоническое скалярное поле, т. е.

2 2 2 2 0.x2 y2 z2

Теорема. Для того чтобы векторное поле a(M ) было гармони-

ческим, необходимо и достаточно, чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциальное и соленоидальное, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.

207

П3. РЯДЫ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

П3.1. Задача о наилучшем приближении, коэффициенты Фурье

П3.1.1. Задача о наилучшем приближении в Rn

Поставим задачу: приблизить наилучшим образом вектор u трехмерного пространства вектором v в двумерном пространстве – плоскости.

Конец «наилучшего» вектора v должен находиться на минимально возможном расстоянии от конца вектора u. Так как пер-

0 = (u – v, e1) = ([u – (C1e1 + C2e2)], e1) =

= (u, e1) – C1 (e1, e1), С1 ue, 1 ;

e1 e1

0 = (u – v, e2) =([u – (C1e1 + C2e2)], e2) =

= (u, e2) – C2 (e2, e2), С2 e2 ,e2 .

Здесь (e1, e2) = 0, так как базисные векторы ортогональны. Искомые коэффициенты найдены и задаются равенствами

208

Аналогично решается задача наилучшего приближения вектора из пространства Rn + 1 вектором из подпространства Rn. Наилучший выбор приближения – проекция вектора на подпространство Rn. Проводя аналогичные выкладки, с учетом ортогональности базисных векторов имеем наилучшее приближение вектора u из Rn + 1 вектором v из Rn:

v = C1 e1 +… + Cn en,

где

Cn u,,en .

en en

П3.1.2. Задача о наилучшем приближении в гильбертовом пространстве Н

Функция двух элементов (f, g) с числовыми значениями называется скалярным произведением, если выполнены четыре аксиомы скалярного произведения:

1)( f, f ) 0, ( f, f ) = 0 f = 0;

2)( f, g ) = ( g, f );

3)( f, g) = ( f, g) = ( f, g);

4)( f + g, h) = ( f, h) + ( g, h).

Отметим, что здесь считается действительным числом. Если считать комплекснымчислом, то аксиому3 надоопределятьтак:

( f, g) = (f, g), (f, g), = (f, g),

где и – комплексно-сопряженные числа. Упражнение. Показать, что:

1)(a, b) = |a| |b| cosφ – скалярное произведение векторов a, b;

2)((x1, …, xn), (y1, …, yn)) = (x1 y1 + … + xn yn) – скалярное про-

изведение векторов-строк;

209