Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

2. Дивергенция постоянного поля равна нулю ( divC 0 , где C cxi cy j cz k – постоянное векторное поле). Вычислим дивергенцию постоянного поля:

divC cx cy cz 0.

x y z

3. Дивергенция произведения скалярного и векторного равна сумме произведения скалярного поля и дивергенции векторного

поля и скалярного произведения векторного поля и градиента ска-

лярного поля ( div( a) diva a grad , где (x, y, z) – скаляр-

ное поле). Докажем справедливость этого соотношения:

П2.5. Соленоидальное поле и его свойства

Векторное поле a M называется соленоидальным в облас-

ти V, если в любой точке M этой области выполнено равенство diva(M ) 0.

Сформулируем и докажем три свойства (теоремы) соленои-

дального поля.

Теорема о необходимом и достаточном условии соленои-

дальности векторного поля (свойство 1). Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.

Теорема о постоянстве потока (свойство 2). Поток соленои-

дального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

190

Доказательство. Рассмотрим две замкнутых поверхности: 1 и 2 ,

окружающие изолированный источник (сток) (рис. П2.3). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней верхнюю сторону плоскости и нижнюю сторону, введем на плоскости вектор нормали от нижней стороны к верхней. Плоскость разделяет поверхности на верхние и нижние части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям.

Рассмотрим две пространственные

области. Одна из них лежит выше плоскости P и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости, вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости P. В той и в другой области поле соленоидально. Следовательно, потоквекторногополячерезграницы этих областейравен нулю:

Сложив эти выражения, получим П 1 П 1в П 1н П 2в П 2н П 2.

Теорема о потоке через сечение векторной трубки (свой-

ство 3). Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.

Доказательство. Обозначим Sбок боковую поверхность векторной трубки. На боковой поверхности направления нормали и векторного поля ортогональны, так как векторная трубка образована векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной к векторной линии (рис. П2.4). Поэтому поток векторного поля через боковую поверхность векторной трубки равен нулю

(ПSбок 0).

191

Отметим, что уравнение поверхности можно записать в виде z x, y , поэтому под интегралом стоит частная производная P по y с учетом зависимости z от y на поверхности . Продолжим доказательство, подставив в равенство (П2.1) z x, y . Получим

Используем формулу Грина для области D с ее границей . Формулу Грина можно записать в виде

Понадобится только та ее часть, которая относится к функции P:

Подставив это равенство в соотношение (П2.1), получим

В самом деле, на контуре выполнено соотношение z x, y , а переменные x, y на контурах и те же, так как контур – это проекция контура на плоскость OXY (параллельно оси OZ). Одна из частей формулы Стокса доказана.

196

Формула Грина является частным случаем формулы Стокса для плоского векторного поля, если выполнены равенства P P x, y ,

Q Q x, y , R 0.

Линейным интегралом векторного поля a по дуге L называется криволинейный интеграл Pdx Qdy Rdz. Линейный ин-

L

теграл имеет смысл работы векторного поля при перемещении по дуге.

Циркуляцией векторного поля

Ц a Pdx Qdy Rdz

называется линейный интеграл по замкнутому контуру. Запишем формулу Стокса в «полевой» форме:

Ц a П rot a .

Ротор векторного поля определен в декартовой системе координат, однако ротор – это характеристика самого векторного поля. Поэтому необходимо дать инвариантное определение ротора, которое не зависит от выбора системы координат.

П2.8. Инвариантное определение ротора и смысл ротора

Рассмотрим произвольную точку M в области V. Проведем через нее поверхность , границей которой служит контур . Пусть

поверхность и контур удовлетворяют условиям теоремы Стокса. По теореме о среднем для поверхностного интеграла и формуле Стокса получим

го соотношения, стягивая контур к точке M, получаем

197

Это и есть инвариантное определение ротора.

Правая часть формулы (П2.2) – это поверхностная плотность циркуляции векторного поля (энергии в точке M вращения векторного поля или работы векторного поля при вращении вокруг некоторого направления, определяемого вектором n(M )); левая

часть – это проекция ротора на направление, определяемое вектором n M .

Если направление n M совпадает с направлением ротора и n M – единичный вектор, то левая часть формулы (П2.2) равна

модулю ротора. Поэтому модуль ротора векторного поля равен максимальному значению поверхностной плотности циркуляции

векторного поля.

Левая часть формулы (П2.2) достигает максимума при коллинеарности направления и ротора векторного поля. Поэтому на-

правление ротора векторного поля – это то направление, вокруг которого поверхностная плотность циркуляции векторного поля

наибольшая.

Пример. Найти ротор линейной скорости материальной точ-

П2.9. Теорема о полном дифференциале для пространственной кривой

Теорема о четырех эквивалентных условиях полного диффе-

ренциала. Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на поверхности S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны:

зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только

щие частные производные компонент векторного поля, вычисленные в точке М:

п. 1 п. 4. По этой цепочке можно последовательно добраться от любого пункта утверждения к любому другому.

Перейдем от п. 4 к п. 3. Дополнительно предположим, что существуют и непрерывны вторые смешанные производные функции V. Тогда

199