Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Отделив действительные и мнимые части, получим формулы для косинуса и синуса тройного угла:

Этот результат можно получить чисто алгебраически:

Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Определим операцию извлечения корня как операцию, обратную операции возведения в степень:

n z n z.

плексное число n z в тригонометрической или показательной форме с найденным модулем r и аргументом , получим формулу

для вычисления корня из комплексного числа:

Из этой формулы следует, что все n корней лежат в комплексной плоскости на круге радиусом n с центром в начале коорди-

Изменив индексы, получим из этого равенства четыре корня:

Все корни лежат на круге радиусом 2 с центром в начале координат на угловом расстоянии 2 друг от друга, причем первый

корень лежит под углом 4 к действительной оси.

11

1.2.Множества на комплексной плоскости

1.2.1.Геометрическая интерпретация

Чтобы правильно строить типичные кривые на комплексной плоскости, прежде всего надо помнить, что модуль разности

образ неравенства a z z0 b — круговое кольцо с центром в точке z0 . Оно включает внутреннюю границу — окружность ра-

диусом a и не включает внешнюю границу — окружность радиусом b .

Уравнение arg z — это уравнение луча на комплексной

плоскости, исходящего из начала координат, угол наклона которого к действительной оси равен . Некоторые часто встречаю-

щиеся кривые и области приведены на рис. 1.1—1.10 (области заштрихованы).

границы.

Равенством arg z 4 задается луч (см. рис. 1.3), а неравенством 0 arg z 3 — угловой сектор (см. рис. 1.4). Системой неравенств

0 Re z 3;

1 Im z Re z

задается более сложная область (см. рис. 1.5).

12

13

Окружность на рис. 1.6 описывается уравнением z i 3, круговое кольцо (см. рис. 1.7) с границами — двойным неравенством 2 z 1 3, кольцевой сектор (см. рис. 1.8) — системойнеравенств

14

Уравнение z i z i 3 можно прочитать так: геометриче-

ское место точек комплексной плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек i и —i постоянна и равна 3. Следовательно, это уравнение описывает эллипс (см. рис. 1.9). Парабола (см. рис. 1.10) — это геометрическое место точек, равноудаленных от точки 4 и мнимой оси. Она задается уравнением

z 4 Re z.

1.2.2. Открытые и замкнутые множества

Чтобы изучать дифференциальное и интегральное исчисления в комплексной области, необходимо ввести основные понятия математического анализа в комплексной области. Многие из них по форме аналогичны соответствующим понятиям функций действительного переменного, но суть их иная.

Точку z0 назовем внутренней точкой множества, если су-

ществует ее окрестность, целиком принадлежащая этому множеству. Например, все точки круга, описываемого неравенством

z 1, — внутренние. Точка z0 называется граничной точкой

множества, если в любой ее окрестности найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие множеству. Границу множества определим как совокупность его граничных точек. Например, граница круга, описываемого нера-

венством z 1, представляет собой окружность, которая описывается уравнением z 1. Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Например, круг, описываемый неравенством z 1, — открытое множество. За-

мыканием множества назовем объединение множества и его границы. Замкнутым называется множество, совпадающее со своим замыканием. Множество является ограниченным, если его можно накрыть кругом конечного радиуса.

Открытой областью (или просто областью) назовется открытое множество, любые две точки которого можно соединить ломаной, целиком принадлежащей множеству. Замкнутой областью называется объединение открытой области и ее границы.

15

тим, что все элементы неограниченно возрастающей последовательности нельзя накрыть кругом конечного радиуса.

1.2.3. Бесконечно удаленная точка

Полагают, что все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к (единственной) бесконечно удаленной точке z , которая не принадлежит комплексной плоскости. Пополняя

комплексную плоскость этой точкой, мы получаем расширенную

комплексную плоскость.

Пояснить единственность бесконечно удаленной точки можно, рассмотрев сферу Римана (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Сфера находится над комплексной плоскостью, опираясь на нее в точке z = 0. Проведем прямую из верхней точки сферы P (ее северного полюса) в какую-либо точку z комплексной плоскости. Прямая «проткнет» сферу в некоторой точке M. Организуем из

16

таких точек z плоскости неограниченно возрастающую последовательность zn . Образы этих точек при увеличении n будут стре-

миться к точке P, а сама точка P будет являться отображением бесконечно удаленной точки плоскости.

Кривой на комплексной плоскости назовем однопараметрическое семейство точек плоскости (t). Точка, отвечающая двум

или более значениям параметра, называется точкой самопересече-

ния или кратной точкой кривой.

1.2.4. Односвязное множество

Кривая, не содержащая кратных точек, называется простой или жордановой кривой. Будем считать кривую замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом.

Теорема Жордана. Любая замкнутая жорданова кривая делит расширенную комплексную плоскость на две области, общей границей которых она является. Одна из этих областей ограничена и называется внутренностью кривой. Вторая не ограничена и называется внешностью кривой.

Множество G называется односвязным, если для любой замкнутой жордановой кривой (t) G либо внутренность кривой

принадлежит множеству G, либо внешность кривой принадлежит множеству G. Например, множества, соответствующие неравенст-

вам z 1, z 2 и изображенные на рис. 1.2, 1.4, 1.5, 1.8—1.10, яв-

ляются односвязными, они «не содержат дыр». Множество называется многосвязным, если оно не является односвязным. Понятие односвязного множества — одно из основных понятий в теории функций комплексного переменного.

1.3. Функции комплексного переменного

1.3.1. Предел последовательности

Комплексное число z0 называется пределом последовательности: limn zn z0 (или последовательность сходится к точ-

ке z0: zn z0 ), если для любого 0 существует натуральное число N, такое, что для любого натурального числа n N выполняется неравенство zn z0 .

17

и достаточно, чтобы сходились последовательности действитель-

ных частей и мнимых частей: xn x0 , yn y0. Доказательство. Используем неравенство треугольника

бого n N будут выполнены оба неравенства. Из теоремы Пифагора следует, что

точность доказана.

Из доказанной теоремы следует, что многие свойства последовательностей действительных чисел и рядов (см. приложение П1) могут быть перенесены на последовательности комплексных чисел. Так, теория пределов и теория бесконечно малых величин

18

справедливы и для комплексных переменных. Но здесь, так же как в теории функций многих переменных (комплексное переменное — функция действительной и мнимой частей), не определены понятия «больше», «меньше». Нельзя сказать, например, какое из комплексных чисел больше или меньше, так же как нельзя сказать, что один вектор больше другого. Однако можно сравнивать комплексные числа по модулю, по аргументу, по действительной или мнимой части.

1.3.2. Элементарные функции комплексного переменного

Функцию комплексного переменного определим следующим образом.

Пусть Z, W — две комплексные плоскости, а G, M — области в Z, W соответственно (рис. 1.12). Пусть произвольной

точке z G Z поставлена в соответствие точка (единственная) w M W по некоторому закону w f (z) . Тогда говорят, что

определена функция комплексного переменного с областью определения G и областью значений в множестве M (или задано отображение области G Z в область M W ).

Рис. 1.12

Комплексное число w f (z) u(x, y) iv(x, y) , как всякое комплексное число, имеет действительную u(x, y) Re f (z) и мнимую

19