Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

П2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

П2.1. Характеристики скалярных и векторных полей

Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано скалярное поле (M), если в этой области задана скалярная функция (M). Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле a (M), если в этой области задана векторная функция a (M). Например, масса или температура частиц в комнате – скалярные поля, скорость или силы взаимодействия частиц – векторные поля.

В интегралах первого рода (двойных, криволинейных, поверхностных) имеют дело со скалярным полем – распределением масс точек кривой или поверхности в пространстве. В интегралах второго рода вычисляются характеристики векторных полей: работа векторного поля (силового поля) в криволинейном интеграле, поток векторного поля в поверхностном интеграле. Рассмотрим подробнее основные характеристики скалярных и векторных полей.

П2.1.1. Характеристики скалярных полей

Линии уровня плоского поля (x, y) – кривые, на которых значения функции постоянны: (x, y) = С = const, например линии равной высоты, нанесенные на географическую карту (h (x, y) = 0 – уровень моря, h = 7000 м – немногие горные вершины, h = – 10 000 м – самые глубокие океанские впадины).

Поверхности уровня пространственного поля (x, y, z) – поверхно-

сти, на которых значения функции постоянны: (x, y, z) = С = const, например поверхности с равной температурой воздуха в атмосфере. Любая линия на поверхности уровня поля – это линия уровня этого поля.

Пример. Задано поле x2 y2 z2 C. При положительной

постоянной С поверхности уровня – однополостные гиперболоиды, при С = 0 поверхность уровня – конус, при С < 0 поверхности уровня – двуполостные гиперболоиды.

Линии или поверхности различных уровней поля не пересекаются, так как каждая линия или поверхность уровня поля соответ-

180

ствует своей константе. Чем чаще (гуще) поверхности или линии уровня поля, тем интенсивнее его изменение.

Теорема. Градиент скалярного поля ортогонален его поверхности уровня.

Доказательство. Пусть точка (x, y, z) остается на поверхности уровня g(x, y, z) = 0 при вариациях переменных. Тогда равенство превращается в тождество, а тождество можно дифференцировать:

Вектор dr (x, y, z) – это вектор, касательный в точке (x, y, z) к любой кривой, лежащей на поверхности уровня, проходящей через эту точку. Поэтому в точке (x, y, z) вектор градиента скалярного поля ортогонален всем касательным к линии уровня, проходящим через эту точку. Следовательно, он ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня и направлен по нормали к поверхности уровня.

Производная скалярного поля по направлению l определяется как

Из теории функций многих переменных известно, что производная по направлению есть проекция градиента на данное направление:

Пример. Найдем производную скалярного поля g(x, y, z) = = x2 + y2 + z3 по направлению {1, 3, 2} в точке (1, 0, 4). Имеем

181

П2.1.2. Характеристики векторных полей

Векторная линия – линия, в каждой точке которой вектор поля направлен по касательной к ней. Уравнения векторной линии легко получить из условия коллинеарности векторов поля

a(M ) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

ружности.

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями.

182

Рис. П2.1

Эти формулы надо доказать. Докажем первую формулу, представив контур L в виде объединения дуг L1, L2 (вторая формула доказывается аналогично). Сведем двойной интеграл к повторным интегралам, а затем к двум определенным интегралам, вычисляя внутренний интеграл. Далее два определенных интеграла сведем к криволинейным интегралам, которые объединим в криволинейный интеграл по контуру:

184

П2.3. Формула Остроградского – Гаусса

Теорема (формула) Остроградского – Гаусса. Пусть компо-

ненты векторного поля

a(M ) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочногладкой границе . Тогда справедлива формула Остроградского –

Гаусса

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy

Отметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля a(M ) через поверхность – «количество» вектор-

ного поля, протекающее через поверхность в единицу времени. Доказательство. Формула Остроградского – Гаусса в си-

лу произвольности функций P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы, в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично.

Будем доказывать часть формулы Остроградского – Гаусса:

Для доказательства представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части дока-

185

зываемой формулы равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в ее левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах.

Итак, будем доказывать соотношение

для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY (рис. П2.2). Пусть «верхняя» граница цилиндрического

тела – поверхность 1 – описывается уравнением z z1(x, y), «нижняя» граница – поверхность 2 – описывается уравнением z z2 (x, y). Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим 3.

Рис. П2.2

186

Сразу отметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно,

R(x, y, z)dxdy R x, y, z cos d 0,

так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и cos 0 .

Отметим также, что на «верхней» поверхности циллиндрического тела 1 cos 0, а на «нижней» поверхности 2 cos 0.

Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по поверхности 2 к двойному интегралу по области D и обратно надо менять

знак, а при переходе от поверхностного интеграла по поверхности1 к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не

надо. Для доказательства соотношения

В результате выкладок получено искомое соотношение. Таким образом, часть формулы Остроградского – Гаусса доказана.

187

Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде:

П (a) a n d div a dv

V

–поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .

П2.4. Дивергенция и ее свойства

Дивергенция векторного поля (расходимость) есть

P Q R .x y z

Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Покажем это. Дадим ин-

вариантное определение дивергенции.

Рассмотрим произвольную точку M в пространственной области V. Выберем ее окрестность VM – шар радиусом r с центром в

точке M. Обозначим M ее границу – сферу радиусом r. По теореме о среднем для тройного интеграла

diva dv diva(M )VM , M VM ,

VM

где VM – объем шара.

По формуле Остроградского – Гаусса

Стягиваем окрестность VM к точке M, получаем дивергенцию векторного поля в точке M – инвариантное определение дивергенции:

188

Отсюда следует, что дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника или стока векторного поля в точке M. Если diva(M ) > 0, то точка M –

источник векторного поля; если div a(M ) < 0, то точка M – сток

векторного поля. Если в некоторой области дивергенция равна нулю, то в этой области нет ни источников, ни стоков, поток векторного поля через границу такой области равен нулю – «сколько поля втекает в область, столько и вытекает из нее».

Пример. Определим расположение источников и стоков векторного поля

a x2 yi xzyj xz2k.

Выясним, является ли точка M(1, 2, 3) источником или стоком. Вычислим diva 2xy xz 2xz 2xy xz. Все точки, для которых

выполнено неравенство 2xy + xz > 0, – источники; все точки, для которых выполнено неравенство 2xy + xz < 0, – стоки. На поверхности 2xy + xz = 0 нет ни источников, ни стоков. Точка M – источ-

ник, так как diva(M ) 4 3 7 0.

Сформулируем и докажем свойства дивергенции.

1. Дивергенция, как всякий линейный оператор, обладает свой-

ством линейности:

div 1a1 2a2 1diva1 2diva2 .

Докажем это:

div 1a1 2a2 div ( 1P1 + 2 P2 )i ( 1Q1 + 2Q2 )j ( 1R1 + 2 R2 )k

x ( 1P1 2 P2 ) + y ( 1Q1 2Q2 ) z ( 1R1 2 R2 )

189