Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Сформулируем также признак Гаусса. Пусть

дится, этот случай сводится к признаку Бертрана.

П1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов

П1.4.1. Абсолютная и условная сходимость

Ряд an называется знакопеременным, если среди членов ря-

n 1

да содержится бесконечное количество отрицательных членов и бесконечное количество положительных членов.

Ряд an называется абсолютно сходящимся, если ряд моду-

170

ложительный, так как an an , и сходится по первому признаку сравнения рядов по сравнению со знакоположительным ря-

ряд(свойство сходящихся рядов) an .

n 1

П1.4.2. Перестановка членов в абсолютно сходящихся рядах

Теорема. Пусть ряд an абсолютно сходится, тогда его чле-

n 1

ны можно переставлять, получая абсолютно сходящийся ряд с той же суммой.

Доказательство. Обозначим s сумму ряда an , S – сум-

Тогда знакоположительный ряд | bn | получен перестановкой

n 1

171

членов ряда | an |. По теореме Дирихле он сходится и имеет

n 1

ту же сумму S.

получаем ряд bn . По свойствам сходящихся рядов он сходится

n 1

и имеет сумму (S + s) – S = s.

Следовательно, ряд bn , полученный перестановкой членов

ряд pn , P0 – ряд A, в котором все отрицательные члены замене-

n 1

ны нулями на тех же местах, Q – ряд qn , Q0 – ряд A, в котором

n 1

все положительные члены заменены нулями на тех же местах. Пример. Построим ряды Am, P0, P, Q0, Q для конкретного

ряда:

172

Теорема. Ряды P, P0, ряды Q, Q0 сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Так как ряд знакопеременный, то два последовательных положительных члена отделяет друг от друга конечное число отрицательных членов. То же верно и для последовательных отрицательных членов. Пусть первая серия нулей в P0 –

ar 1, ..., ar k . Тогда SPr SP0r SP0r 1 ... SP0r k , т. е. k элемен-

тов в последовательности частичных сумм повторяются. Исключим их из последовательности и перенумеруем члены (это соответствует исключению серии нулей). Исключение последовательных одинаковых элементов не влияет на сходимость и предел последовательности. Далее доказательство можно провести по индукции, так как операция исключения нулей аналогична. Поэтому ряды P0 и P сходятся или расходятся одновременно. То же верно и для Q0 и Q.

Теорема. Если ряд P сходится, ряд Q сходится, то ряд Am сходится, т. е. ряд A сходится абсолютно.

Доказательство. Так как ряд P сходится, то ряд P0 сходится; так как ряд Q сходится, то ряд Q0 сходится. Складывая сходящиеся

ряды P0 и (–Q0) почленно (учитывая, что | pn | pn , | qn | qn ), получаем сходящийся ряд. Это ряд Am.

Теорема. Если ряд P сходится и ряд Q расходится или ряд P расходится и ряд Q сходится, то ряд A расходится.

Доказательство. Пусть ряд P сходится и ряд Q расходится. Тогда ряд P0 сходится. Будем доказывать от противного. Пусть ряд A сходится, тогда, вычитая из него сходящийся ряд P0, получаем сходящийся ряд Q0. Тогда по доказанной выше теореме ряд Q сходится. Пришли к противоречию.

173

Случай, когда ряд P расходится и ряд Q сходится, рассматривается аналогично.

Теорема. Пусть ряд A условно сходится, тогда ряды P, Q расходятся.

Доказательство. Если ряды P, Q сходятся, то по предыдущей теореме ряд Am сходится, т. е. ряд A сходится абсолютно. Пришли к противоречию.

Если ряд P сходится и ряд Q расходится или ряд P расходится и ряд Q сходится, то ряд A расходится (по предыдущей теореме). Пришли к противоречию со сходимостью ряда A.

Следовательно, ряды P и Q расходятся.

Выводы. Получена следующая схема, иллюстрирующая теоремы о структуре знакопеременных рядов:

если ряд P сходится и ряд Q расходится или ряд P расходится и ряд Q сходится, то ряд A расходится;

если ряды P и Q сходятся, то ряд A абсолютно сходится; если ряд А абсолютно сходится, то ряды Р и Q сходятся; если ряд А условно сходится, то ряды Р и Q расходятся. Пример. Исследовать сходимость ряда

1 13 12 19 14 271 18 811 ...

Выделим ряды из положительных и отрицательных членов ряда: ряд P: 1 12 14 18 ... – сходящаяся бесконечно убывающая

геометрическая прогрессия;

ряд Q: 13 19 271 811 ... – сходящаяся бесконечно убываю-

щая геометрическая прогрессия.

Следовательно, исходный ряд A абсолютно сходится. Пример. Исследовать сходимость ряда

12 13 14 15 18 17 161 19 ...

Выделим ряды из положительных и отрицательных членов ряда:

174

ряд P: 12 14 18 .161 ... – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;

ряд Q: 13 15 17 19 ... – расходящийся ряд (по второму при-

знаку сравнения с гармоническим рядом (см. разд. 3.2)). Следовательно, исходный ряд A расходится.

П1.4.4. Перестановка членов в знакопеременных рядах

Теорема Римана. Пусть S – произвольное число (конечное или бесконечное). Тогда можно так переставить местами члены условно сходящегося знакопеременного ряда, что его сумма будет равна S.

Доказательство. Так как ряд A условно сходится, то ряды P, Q расходятся (теоремы о структуре знакопеременного ряда). Пусть для определенности S > 0. Переставляем в начало ряда столько положительных членов, чтобы их сумма стала больше S. Теперь переставляем столько отрицательных членов, чтобы частичная сумма ряда стала меньше S. Повторяем этот процесс. Процесс осуществим для любого S, так как ряды P, Q расходятся (т. е. повторением членов можно набрать любую их сумму). Однако частичная сумма сконструированного ряда сходится именно к S. В сконструированном ряде | Sn S | bn , где bn – тот член ряда, при

bn 0 , так как знакопеременный ряд условно сходится.

n

Сам ход доказательства напоминает пример с добавлением гирь (положительных членов) на одну чашку весов до тех пор, по-

ка весы не покажут вес, больший S; гиря bn – последний член; за-

тем на другую чашку весов добавляют столько гирь (отрицательных членов) весом, равным модулям этих членов, чтобы весы показали вес, меньший S. Процесс повторяется. Вес гирь, вызывающих переход указателя весов через S, убывает до нуля, так как для условно сходящегося ряда выполняется необходимый признак

сходимости. Поэтому Sn S.

n

175

Для исследования знакопеременных рядов часто удобно применять достаточный признак сходимости Абеля. Сформулируем его и примем без доказательства.

Признак Абеля. Пусть ряд an сходится, пусть последователь-

n 1

ность bn , n = 1, 2, …, монотонна и ограничена. Тогда ряд anbn

n 1

сходится.

П1.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если

знаки членов ряда чередуются, т. е. ряд an имеет вид

n 1

v1 v2 v3 v4 ... Полагаем, что ряд начинается с положительного члена vk 0 для любого k 1.

К знакочередующимся рядам можно применить все теоремы, доказанные в разд. П1.4 для знакопеременных рядов. Но есть специальный, очень удобный достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница (он не является необходимым признаком).

Признак Лейбница. Пусть числовой ряд удовлетворяет трем

для любых k 1); последовательность модулей членов ряда монотонно убывает ( vn vn 1 для любого n ); члены ряда стремятся к

нулю при возрастании их номеров ( limn vn 0). Тогда ряд an

n 1

сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда. Доказательство. Рассмотрим последовательность частич-

ных сумм с четными номерами. Эти суммы положительны:

S2n v1 v2 v3 v4 ... 0,

так как

v1 v2 0, v3 v4 0...

176

(последовательность vn монотонно убывает по условию теоремы). Последовательность этих сумм S2n ограничена сверху пер-

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм с нечетными номерами:

S2n 1 S 2n v2n 1.

Покажем, что limn S2n 1 S.

Предел limn vn 0 поусловиютеоремы, т. е. limn v2n 1 0. Выше доказали, что limn S2n S (см. (П1.1)). Следова-

тельно, предел правой части этого равенства существует и равен S. Поэтому предел левой части равенства тоже существует и

равен limn S2n 1 S.

Раскроем определение предела: для любого номера 0 существует номер N( ), такой, что для любого числа n N выпол-

нено неравенство Sn S как для четных номеров n, так и для

нечетных номеров n. Следовательно, это справедливо для любых номеров n N, поэтому limn Sn S, т. е. ряд сходится, его

сумма равна S.

177

Для последовательности частичных сумм с четными номерами выше доказано, что 0 S2n v1. Переходя к пределу, получаем

0 S v1, т. е. S v1.

Следствие. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда | Rn | | an 1 | .

Доказательство следствия. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена, который и есть первый отброшенный член.

Пример. Ряд

сходится по признаку Лейбница. Ряд модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.

Оценим остаток ряда: Rn n1 1 .

П1.6. Методика исследования сходимости числовых рядов

Эта методика заключается в следующем.

1.Проверяем необходимый признак сходимости ряда. Если он не выполнен, то ряд расходится, если выполнен, то переходим к п. 2.

2.Проверяем, не удовлетворяет ли ряд простейшим свойствам сходящихся рядов (группировка, отбрасывание конечного числа членов ряда, сложение рядов, умножение на константу, не равную нулю). Если сходимость ряда установить не удалось, то переходим

кп. 3, если ряд знакопостоянный, или к п. 4, если ряд знакопеременный.

3.Если ряд знакопостоянный, проверяем, не удастся ли установить сходимость или расходимость ряда, применяя признаки сравнения рядов. Если ряд сравнения подобрать не удалось, то применяем признак Даламбера (если общий член ряда содержит факториал), радикальный признак Коши (если общий член ряда содержит степени) или интегральный признак (если легко взять

178

интеграл). Если результат не достигнут, применяем один из признаков сходимости: Раабе, Бертрана или Гаусса.

4. Если ряд знакопеременный, исследуем сходимость ряда из модулей членов. Если этот ряд сходится, то исходный ряд абсолютно сходится. Если абсолютной сходимости нет, исследуем условную сходимость ряда. Если ряд знакочередующийся, то надо проверить условия признака Лейбница. Если имеем знакопеременный ряд общего вида или знакочередующийся ряд, для которого условия признака Лейбница не выполнены, то применяем признак Абеля или теоремы о структуре ряда.

179