Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Найдем решение системы координатным способом. Переходя к изображениям, запишем изображения переменных:

По изображениям найдем оригиналы:

x(t) 1(t), y(t) et .

Решение системы уравнений получено.

150

ПРИЛОЖЕНИЯ

П1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

П1.1. Сходимость ряда, общие признаки сходимости

Числовой ряд an – это сумма бесконечного количества чи-

n 1

сел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда an.

Пример. Рассмотрим ряд

1 12 14 18 161 ... 2n1 1 ...

Этот ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Пример. Рассмотрим ряд 1 + 1 + 1 +… Сумма этого ряда бесконечна.

Пример. Рассмотрим ряд 1 – 1 + 1 – 1… Сумма этого ряда не существует.

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд?» Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, проводим последовательные вычисления:

S2 1 12 32 ; S3 1 12 14 74 ; S4 1 12 14 18 158 ...

– суммыn = 2, 3, 4, … членовряда, т. е. частичныесуммыряда Sn.

Ряд an называется сходящимся, если существует конечный

n 1

предел последовательности частичных сумм ряда

151

limn Sn S.

Этот предел называется суммой ряда.

Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то limn an 0.

Доказательство. Выразим общий член ряда через частичные суммы ряда: an Sn Sn 1. Пусть ряд сходится, тогда

limn an limn Sn limn Sn 1 S S 0.

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Теорема (достаточный признак расходимости ряда).

Если limn an 0, то ряд расходится.

Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда limn an 0.

Пришли к противоречию с limn an 0.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того чтобы ряд сходился (последовательность частичных сумм имела конечный предел), необходимо и достаточно, чтобы для любого 0

Это критерий Коши для последовательности частичных сумм ряда. Критерий Коши для числовой последовательности доказывается в курсе математического анализа в 1-м семестре, поэтому нет смысла приводить здесь доказательство.

Теорема (критерий Коши расходимости ряда). (Отрицание критерия Коши.)

152

Для того чтобы ряд расходился, необходимо и достаточно, чтобы существовало число 0, такое, что для любого номера

N существовали номера n, p, чтобы выполнялось неравенство

П1.2. Общие свойства сходящихся рядов

Сформулируем и докажем общие свойства сходящихся рядов. 1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k

раз больше суммы исходного ряда.

Доказательство. Для ряда (назовем его вторым), полученного из исходного (назовем его первым) почленным умножением на одно и то же число k, частичная сумма будет равна

По теореме о предельном переходе в равенстве S2 kS1.

2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.

153

Доказательство. Сгруппируем члены ряда, например, так: b1 a1 ... ak , b2 ak 1 ... al , ..., bn as ... ap ...

Видно, что частичные суммы сгруппированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.

3. В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов a1, ..., ak (a1 ... ak B). Полученный ряд будет сходить-

ся, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B. Доказательство. Запишем частичные суммы второго ряда:

S21 ak 1 S1 k 1 B, ..., S2 n ak 1 ... ak n S1 k n B.

По теореме о предельном переходе в равенстве S2 S1 B.

Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозна-

чается Rk an.

n k 1

4.Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3.) Поэтому сходимость ряда можно исследовать, начиная с некоторого n.

5.Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.

Доказательство. Рассмотрим два сходящихся ряда: an

n 1

Частичная сумма этого ряда равна

Sc n Sa n Sb n .

Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем

Sc Sa Sb .

154

Пример. Ряд –5 + 7 – 8 + 100 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 +…

сходится. В самом деле, отбросив первые четыре члена ряда, получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Пример. Ряд 1 1 12 12 14 13 18 14 ... расходится. Он

представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно

сходящийся ряд 1 0 12 0 14 ... , мы должны были бы полу-

чить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.

получим исходный ряд. Следовательно, он сходится и его сумма равна 1.

П1.3. Признаки сходимости знакоположительных рядов

Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные (неотрицательные) числа:

an , an 0.

n 1

155

Основная особенность знакоположительных рядов состоит в том, что частичные суммы ряда представляют собой неубывающую последовательность:

Sn Sn 1 an Sn 1,

так как an 0.

Поэтому достаточно проверить, что последовательность частичных сумм ограничена сверху, чтобы по теореме Вейерштрасса утверждать, что последовательность частичных сумм имеет конечный предел, т. е. ряд сходится.

На этом основаны практически все признаки сходимости знакоположительных рядов.

Ряд может сравниваться с несобственным интегралом (интегральный признак Коши), с другими рядами (признаки сравнения рядов), в частности со сходящейся геометрической прогрессией (признак Даламбера, радикальный признак Коши).

У каждого признака есть своя область применения, более широкая или более узкая. Одни признаки позволяют различать слабо сходящиеся или слабо расходящиеся ряды, но имеют узкую область применения (например, интегральный признак Коши). Другие, наоборот, имеют широкую область применения, но ряды, близкие к границе сходимости, с их помощью не различишь, например, признаки Даламбера и Коши (радикальный).

В библиотеке рядов, которые можно использовать для сравнения, пока всего два ряда: сходящийся ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и расходящийся гармонический ряд.

Интегральный признак Коши, основанный на сравнении с несобственным интегралом, – очень сильный признак.

П1.3.1. Интегральный признак Коши

Теорема. Пусть при x 1 определена непрерывная, невозрастающая функция f(x), такая, что f (n) an , limx f (x) 0.

Ряд an сходится тогда и только тогда, когда сходится несоб-

n 1

ственный интеграл f (x)dx.

1

156

Доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла от знакоположительной функции состоит в том, что он чис-

n

ленно равен площади под графиком функции. Поэтому f (x)dx –

1

это площадь (рис. П1.1) под графиком функции f (x) при 1 x n. Так как сумма членов ряда со второго по n-й

a2 a3 ... an Sn a1

(сумма площадей прямоугольников с основанием, равным единице, и высотой, равной члену ряда) ограничивает площадь под графиком функции снизу, а сумма членов ряда с первого по (n – 1)-й

a1 a2 ... an 1 Sn an

ограничивает ее сверху, то справедливо неравенство

n

Sn a1 f (x)dx Sn an ,

1

которое будем использовать при доказательстве.

Рис. П1.1

157

Докажем достаточность. Если интеграл сходится, то

поэтому последовательность Sn ограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса су-

т. е. несобственный интеграл сходится.

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся одновременно, т. е. если один из них сходится, то и другой сходится; если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак к гармониче-

скому ряду:

– интеграл расходится, поэтому и гармонический ряд расходится.

158

1

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле» n 1 n p . Название взято

вкавычки, так как неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы. Применим интегральный признак Коши:

Ясно, что интеграл сходится при p > 1 и расходится при p < 1. В случае p = 1 имеем расходящийся гармонический ряд. Отсюда

(проверьте по интегральному признаку). Становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами, пополнена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

П1.3.2. Признаки сравнения знакоположительных рядов

Теорема (первый признак сравнения). Пусть выполнено не-

расходимость ряда bn.

n 1

Доказательство. Пусть ряд bn сходится. Тогда выпол-

n 1

нено неравенство San Sbn < Sb для любого n. Поэтому последо-

159