Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

равномерно по аргументу p, т. е. при p p CR (см. рис. 6.1) выполнено условие max F ( p) 0. Тогда

limR F ( p)e pt dp 0.

CR

6.5. Теоремы разложения

Общая (третья) теорема разложения. Пусть F ( p) – функ-

ция аналитическая за исключением конечного числа особых точек

По равномерной сходимости ряда Лорана допустимы почленное интегрирование ряда (при вычислении вычета) и почленный переход к пределу. По общей теореме разложения

Доказательство. Применим общую теорему разложения, вычисляя вычеты по формуле вычисления вычета в полюсе rk порядка (см. разд. 3.2). Получим искомую формулу.

142

7. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

7.1.Решение дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами методом операционного исчисления

При решении дифференциальных уравнений и систем используется теорема о дифференцировании оригинала и ее следствие – теорема об изображении n-й производной.

Метод решения основан на том, что преобразование Лапласа сводит дифференцирование в пространстве оригиналов к умножению на комплексное переменное p в пространстве изображений. Поэтому дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве оригиналов переходит в алгебраическое уравнение в пространстве изображений. При этом учитываются и начальные условия, что удобно при решении задачи Коши.

Получив решение алгебраического уравнения в пространстве изображений, находим решение в виде некоторого изображения – функции комплексного переменного p. Остается найти соответствующий ему оригинал по свойствам преобразования Лапласа (теоремам подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования, интегрирования) или по теоремам разложения.

Пусть задано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами a0 , a1, ..., an относительно неизвестной функции

x(t) и ее производных, правая часть которого – функция f (t) – является оригиналом:

a0 x n a1x n 1 ... an 1x an x f (t).

Требуется решить задачу Коши для этого уравнения при начальных условиях

143

Имеем

p2 x( p) c0 p c1 x( p) 1p ;

для третьего слагаемого находим по теореме об интегрировании оригинала:

t

sh t dt ch t 1.

0

Искомое решение имеет вид

x(t) ch t 1 с0сh t c1sh t.

по теореме о дифференцировании изображения.

Пример. Решить дифференциальное уравнение x x 0 при начальных условиях x(0) 2, x (0) 1.

Имеем

x(t) 2cost sin t.

145

Пример. Решить дифференциальное уравнение x 4x 3et при начальных условиях x(0) 2, x (0) 1.

Имеем

Искомое решение равно

x(t) 2ch2t 12 sh2t 32 et sh2t.

Если свертку в записи решения вычислить трудно, то можно найти оригинал t для последнего слагаемого в изображении решения по теореме разложения:

7.2.Решение дифференциальных уравнений

спомощью интеграла Дюамеля

Пусть задано дифференциальное уравнение

пользуяэто решение, найти решение для произвольной правойчасти. Переходя к изображениям, получаем и решаем алгебраическое

уравнение:

M ( p)x( p) F ( p); M ( p)x1( p) 1p ;

146

Для вычисления выбирается одна из этих формул.

7.3. Решение систем дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Задана система дифференциальных уравнений. Надо решить задачу Коши:

x Ax f (t), x(0) x0 , A(n n).

Рассмотрим два способа решения: матричный и координатный. В матричном способе решения к обеим частям системы дифференциальных уравнений (к векторам) применяем преобразование Лапласа и ищем алгебраически вектор изображений

решений:

px( p) x0 Ax( p) F ( p); ( pE A)x( p) F ( p) x0 ; x( p) pE A 1 F ( p) x0 .

Теперь надо найти оригинал x(t) для вектора x( p), определяя

оригиналы для координат вектора по теоремам операционного исчисления или по теоремам разложения.

В координатном способе решения применяем преобразование Лапласа к каждому уравнению системы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений коор-

147