Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Первый способ. По теореме смещения найдем изображение

Второй способ. Дважды применяя теорему о дифференцировании изображения, найдем изображение экспонент et ~ p1 1 . По-

лучим

Пример. Найти оригинал, соответствующий изображению

G p p4p 1 .

Представим изображение в виде произведения изображений и применим теорему о свертке, используя таблицу оригиналов и изображений:

G p p2 1 p p2 1 p2p 1 p21 1 p21 1 p2p 1 .

Итак, G p ~ ch t sin t, или G p ~ sh t cost, – искомый оригинал.

5.4.3. Интеграл Дюамеля Теорема. Справедливы соотношения:

pF p p ~ t f t f 0 t ;

(5.1)

pF p p ~ f t t f 0 t ;

pF p p ~ t f t 0 f t ;

(5.2)

pF p p ~ f t t 0 f t .

Они называются интегралом Дюамеля. Название содержит слово «интеграл», так как свертка вводится как интеграл.

Доказательство. Выражения (5.1) и (5.2) равны по коммутативности свертки. Докажем первые соотношения в (5.1) и (5.2). По теореме о свертке

pF ( p) ( p) (pF ( p) f ( 0)) ( p)

f ( 0) ( p) ~ f (t) (t) f ( 0) (t),

pF ( p) ( p) ( p ( p) ( 0))F ( p)

( 0)F ( p) ~ (t) f (t) ( 0) f (t).

133

Отсюда следует справедливость первых соотношений в (5.1) и (5.2).

5.5. Теорема запаздывания и ее применение

e p f z dz e p F p .

0

В интеграле сделана замена переменных t z.

5.5.2. Изображение периодической функции

Пусть функция f t – периодическая с периодом Т. Обозначим

134

Представим функцию f t в виде

f t f0 t 1 t f0 t T 1 t T f0 t 2T 1 t 2T ...

и применим теорему запаздывания:

F p F0 p e pT F0 p e 2 pT F0 p ...

Пример. Найти оригинал по изображению

e 2 p F p p2 4 .

Запишем изображение синуса sin 2t: sin 2t ~ p22 4 .

135

Пример. Найти изображение периодической функции f t e t, t 0, T с периодом Т:

5.5.3. Изображения элементарных импульсов

Найдем изображения прямоугольного, треугольного, трапецеидального и синусоидального импульсов.

Для прямоугольного импульса

(рис. 5.4):

– оригинал;

F p 1p 1 e p

Рис. 5.4

– изображение. Для треугольного импульса (рис. 5.5):

f t h t1 t 2 t 1 t

t 2 1 t 2

–оригинал;

Рис. 5.5 F p ph2 1 2e p e 2 p

– изображение.

136

6. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ОРИГИНАЛОВ

6.1. Достаточные условия изображения

Сформулируем достаточные условия изображения (этим ус-

ловиям должна удовлетворять функция комплексного переменного, чтобы она была изображением некоторого оригинала):

1) функция F ( p) – аналитическая при условии Re p s s0 (константа s0 определяет условие 3, которому должен удовлетворять оригинал (см. подразд. 5.1.1));

( f (t)e st )e i t dt f (t)e st .

0

138

Таким образом, преобразование Лапласа функции f (t) есть преобразование Фурье (см. приложение П3) функции f (t)e st .

Отметим, что ограниченность функции f (t)e st следует из выполнения условия 3, которому должен удовлетворять оригинал (см. подразд. 5.1.1) f (t) Mes0t . Тогда для любого s s0 выполнено

неравенство | f (t)e st |< f (t) e s0t Mes0t e s0t M .

6.3. Теорема обращения

Теорема. Пусть функция F ( p) удовлетворяет достаточным

условиям изображения (см. разд. 6.1). Тогда справедлива формула обращения

где s0 – показатель роста.

Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется

интегралом Римана – Меллина, он осуществляет обратное преоб-

разование Лапласа (переход от изображения к оригиналу). Доказательство. Из доказательства теоремы об области

определения изображения (см. подразд. 5.1) следует абсолютная интегрируемость функции f (t)e st для любого s s0 . Тогда для

такой функции можно записать интеграл Фурье (см. приложение П3):

(внутренний интеграл взят от нуля по условию физической реализуемости). Умножая обе части этого равенства на est, получаем

139