Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Если внутри контура лежит много особых точек, а вне контура – мало, то проще вычислять интеграл по особым точкам, не входящим в контур, и по бесконечно удаленной точке.

3.4. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов

Теорема. Пусть функция f z – аналитическая в верхней по-

луплоскости ( Imz 0 ) за исключением конечного числа особых точек z1,..., zn , лежащих в верхней полуплоскости, непрерывная на действительной оси и удовлетворяющая при M 0, 0 (при больших |z|) неравенству

точно велико, чтобы все особые точки лежали внутри контура. По общей теореме Коши о вычетах интеграл по контуру может

быть вычислен так:

110

Отсюда

limR f z dz 0.

CR

При R , получим формулу для вычисления несобствен-

ного интеграла через вычеты в особых точках функции, лежащих в верхней полуплоскости:

функция, рассматриваемая как функция комплексного переменного, имеет в верхней полуплоскости полюс второго порядка z 2i. Вычислим вычет подынтегральной функции в этой точке:

где контур интегрирования

111

можно сформулировать лемму Жордана для полуплоскости Re z a следующим образом.

Подынтегральная функция как функция комплексного переменного имеет в верхней полуплоскости один полюс z0 1 3i. Вычисляя

вычет и применяя общую теорему о вычетах, получаем

112

поэтому

113

4. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

4.1 Применение комплексных чисел

Комплексные числа применяются практически во всех разделах математики.

С комплексными числами встречаются еще в школе при решении квадратных уравнений, продолжают знакомство в институте при отыскании собственных чисел, решении дифференциальных уравнений, в теории устойчивости.

Даже в теории вероятностей, казалось бы никак не относящейся к комплексным числам, комплексные числа служат для определения характеристической функции. А аппарат характеристических функций позволяет обосновать центральную предельную теорему – ядро теории вероятностей. В теории случайных процессов используется преобразование Фурье (см. приложение П3), содержащее в самом определении мнимую единицу.

Теория функций комплексного переменного, или теория аналитических функций, является основой для описания и моделирования гладких и периодических процессов в окружающей нас реальности. Плоские лапласовы поля (см. приложение П2) и их свойства хорошо описываются с помощью комплексного потенциала [1].

Теория электромагнетизма и уравнения Максвелла могут быть записаны на языке функций комплексного переменого.

В основе квантовой теории лежит уравнение Шредингера, описывающее изменения комплексных величин.

Современная авиация началась с теории крыла, разработанной

теория конформных отображений, которая используется в гидродинамике, аэродинамике при решении задач обтекания [1].

114

Комплексные числа применяют сейчас в различных областях науки и техники.

В электротехнике и теории цепей с их помощью рассчитывают электрические цепи.

Вся теория автоматического управления основана на операционном исчислении, в котором используется представление оператора дифференцирования в виде p s i , где s, – действи-

тельные числа.

Теория систем, теория информации «выросли» из теории автоматического управления и пользуются сходным математическим аппаратом.

4.2. Обобщения комплексных чисел. Кватернионы и кентавры

Комплексное число строится из двух действительных чисел с помощью процедуры удвоения Кэли – Диксона: z x iy, где

i2 1. В комплексном числе оба слагаемых «несоизмеримы» в том смысле, что эти числа разной природы. Чтобы подчеркнуть этот факт математически, вводят мнимую единицу в записи числа или располагают комплексные числа на комплексной плоскости.

Кватернион конструируется из пары комплексных чисел с помощью той же процедуры удвоения:

q z1 z2 ,

где 2 1;

q(x1 iy1) (x2 iy2 ) x1 iy1 x2 iy2 .

Взаписи кватерниона приходится вводить еще одну мнимую единицу . Более привычно записывать кватернион в виде

q a bi cj dk,

где k ij. В физике принято записывать радиус-вектор четырехмерного физического пространства так:

115

q ct xi yj zk,

где t – время; x, y, z – координаты; c – скорость света.

Умножение кватернионов ассоциативно, но не коммутативно. Найдем произведение двух векторов-кватернионов:

q1q2 x1i y1 j z1k x2i y2 j z2k x1x2 y1y2 z1z2

y1z2 z1y2 i z1x2 x1z2 j x1y2 x2 y1 k q1 q2 q1 q2 .

Здесь принята «таблица умножения» комплексных единиц в виде

Можно строить и другие «таблицы умножения», получая другие алгебры.

Кватернионное произведение объединяет скалярное и векторное произведения векторов в едином кватернионном произведении. Это означает, что скаляры и векторы в качестве кватернионов обладают новыми весьма неожиданными свойствами. Можно, например, извлечь корень из комплексного числа, можно извлечь корень из кватерниона. Следовательно, можно извлечь корень из вектора. Это необычно и непривычно.

Если ввести оператор дифференцирования в трехмерном пространстве и умножить его на вектор-кватернион, то в результате получим

Рассматривая оператор в четырехмерном пространстве и кватернионсоскалярнойчастью, умножая на кватернион, получаем

1 q gradq0 divq rotq. c t

116

Следовательно, кватернионное дифференцирование обобщает дифференциальные операции первого порядка, в теории поля (см. приложение П2) производимые над скалярами и векторами.

В работе [7] показано, что уравнения Максвелла

Вработах [6, 7] показано также, что преобразования Лоренца — это преобразования радиус-кватерниона (системы координат) посредством унимодулярного радиус-кватерниона (умножение ради- ус-кватерниона на унимодулярный радиус-кватернион).

Краткость и красота записи этих основных уравнений физики означает, что аппарат кватернионов фундаментален.

Вчастности, в работе [7] приведены уравнения второго поряд-

ка вида 2q M , учитывающие не только линейные, как в урав-

нениях Максвелла, но и квадратичные члены, которые позволяют обобщить дифференциальные операции второго порядка и анализировать известные силовые взаимодействия.

Вновь применяя процедуру удвоения, из пары кватернионов можно получить октаву. Однако умножение октав не ассоциативно, оно всего лишь альтернативно. Но можно, наложив некоторые ограничения, сделать умножение октав ассоциативным. Тогда октава будет представлять собой кентавр (в терминологии В.Я. Фридмана [6]). Развивая идеи В.Я. Фридмана, можно показать [7], что аппарат кентавров применим к анализу целенаправленных систем (живых и даже разумных систем), если вводить кентавр обощенного состояния и кентавр обобщенной энергии (энергоинформации).

Кватернионы успешно применяются в технических задачах, связанных с описанием вращений. С помощью кватернионов описывать вращения удобнее, чем в углах Эйлера. В задачах

117

ориентации и стабилизации космических аппаратов применение кватернионных алгоритмов позволяет получить плавные согласованные реакции управляющих двигателей. Пусть, например, надо осуществить поворот на угол вокруг единичного векто-

= 1, 2, 3 (координаты вектора q ) называются параметрами Родрига – Гамильтона или параметрами Эйлера. Если t – вектор-

кватернион угловой скорости, то кватернион вращения можно определить из кватернионного дифференциального уравнения

q 12 q .

118

5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

5.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение

Преобразование Лапласа L f t – это интегральное преобра-

F p f t e pt dt = L f t .

0

Функция f t называется прообразом или оригиналом, функ-

ция F p – образом или изображением (по Лапласу). Принято обозначать соответствие оригинала и изображения f t ~ F p .

Не всякая функция f t может быть оригиналом, она должна удовлетворять определенным условиям.

5.1.1. Условия, которым должен удовлетворять оригинал

Сформулируем условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы ее можно было считать оригиналом, т. е. применять к ней преобразование Лапласа.

1. Условия Дирихле:

на любом конечном интервале изменения аргумента функция f t может иметь не более конечного числа точек разрыва и не более конечного числа точек экстремума;

119