Галкин С.В. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление- учебное пособие для вузов (2011) (1)

Тогда функция f z станет аналитической в окрестности z z0 (см. подразд. 1.3.3) как сумма степенного ряда (см. подразд. 2.1.7). Поэтому точка z0 – правильная точка функции f z .

Теорема доказана.

Следствие. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности правильной точки представляет собой ряд Тейлора и не содержит членов с отрицательными степенями.

Теорема Лиувилля. Любая целая, ограниченная во всей расширенной плоскости функция есть константа.

Доказательство. Целая функция содержит только положительные степени в ее разложении в ряд Лорана ( cn 0, n 0) .

Кроме того, по условию ограниченности функции для любого z выполнено неравенство f (z) M . Из неравенств Коши следует

Теорема. Для того чтобы точка z0 была полюсом функции f z , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем функ-

1 . f z

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть точка z0 – полюс функции f z , тогда f z – аналитическая функция в круговом кольце 0 z z0 (проколотой окрестности точки z0 ), а limz z0 f z = , т. е. для любого числа M > 0 существует число M , такое, что для любой точки z круга z z0 выполнено неравенство f z M , из которого следует неравенство

Тогда функция z является аналитической в проколотой окрестности точки z0: 0 z z0 и ограниченной в окрестности точки z0 (см. подразд. 1.3.3). Поэтому точка z0 – правильная точка функции z и существует конечный предел limz z0 z . В силу произвольности M предел limz z0 z = 0, т. е. точка z0 –

Пример. Рассмотрим функцию

f z 13 2 . z5 z 1 z i

Точка z 0 – полюс пятого порядка, точка z 1 – полюс третьего порядка, точка z i – полюс второго порядка.

Теорема. Для того чтобы точка z0 была полюсом n-го порядка функции f z , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем

n-го порядка функции z 1 . f z

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть точка z0 – полюс n-го порядка функции f z , тогда функция

Необходимость доказана.

93

Докажем достаточность. Пусть точка z0 – нуль n-го порядка функции

z z z0 n z ,

где функция z – аналитическая в точке z z0 и z0 0. Рассмотрим функцию

порядка функции f z , необходимо и достаточно, чтобы ее разложение в ряд Лорана по степеням z z0 не содержало степеней

Доказательство. Докажем необходимость. Если точка z0– полюс n-го порядка функции f z , то функция может быть записана в виде

Разложим аналитическую функцию z в ряд Тейлора по степеням z z0 :

го, ни бесконечного, то особая точка z0 называется существенно особой точкой функции f z .

95

Теорема. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки конечной плоскости z0 содержит беско-

нечное количество отрицательных степеней z z0 . Доказательство. Если разложение в ряд Лорана в окрест-

ности особой точки конечной плоскости z0 вообще не содержит отрицательных степеней, то точка z0 правильная. Пришли к противоречию. Если разложение в ряд Лорана содержит конечное число отрицательных степеней, то точка z0 – полюс. Пришли к

противоречию. Остается только вариант наличия в разложении бесконечного числа слагаемых с отрицательными степенями.

Теорема Сохоцкого. Каково бы ни было число А, конечное или бесконечное, существует такая последовательность zn z0 , где

z0 – существенно особая точка функции f z , что f zn A.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть A – конечное число. Предположим, что не существует последовательности, о которой идет речь в теореме. То-

гда значения функции отделены от A, т. е. существует число 0, такое, что для любого числа 0 из выполнения неравенства

Из последнего неравенства следует, что в δ-окрестности точки z0 выполнено неравенство

z 1 ,

т. е. функция z ограничена в этой окрестности, следовательно, z0 – правильная точка функции z . Поэтому существует конечный предел

96

limz z0 z c.

Этот предел может быть отличен от нуля или равен нулю. Рас-

Тогда

limz z0 f z = 1c A

конечное число. Следовательно, z0 – правильная точка функции f z , т. е. пришли к противоречию с условием теоремы;

б) пусть c 0. Тогда существует число 0 , такое, что для

т. е. точка z0 – полюс функции f z . Пришли к противоречию с условием теоремы.

Случай 2. Пусть A . Надо доказать, что при zn z0 последовательность f zn . Пусть для любой последовательности zn z0 последовательность f zn не стремится к бесконечно удаленной точке. Тогда для любой последовательности

правильная точка функции f z . Пришли к противоречию с условием теоремы. Теорема Сохоцкого доказана.

2.3.4. Классификация особой точки функции по ее разложению в ряд Лорана в окрестности этой точки

На основании доказанных в подразд. 2.3.3 теорем можно дать следующую классификацию особой точки конечной плоскости

не содержит отрицательных степеней, то z0 – правильная точка функции f z ;

содержит конечное число отрицательных степеней, то z0 – полюс функции f z , причем наинизшая отрицательная степень

определяет порядок полюса;содержит бесконечное количество членов с отрицательными

степенями, то z0 – существенно особая точка функции f z .

2.3.5. Классификация бесконечно удаленной особой точки функции по ее разложению в ряд Лорана

в окрестности этой точки

Разложение в ряд Лорана в окрестности точки z0 , т. е. в области z R, представляет собой ряд Лорана по степеням z:

f z cn zn ,

n

в котором главная часть, определяющая особенности функции, содержит положительные степени, а правильная часть – отрицательные степени. Используем приведенную в подразд. 2.3.4 классификацию особой точки конечной плоскости, заменяя положительные степени отрицательными степенями, а отрицательные степени положительными степенями. Классификация

98

бесконечно удаленной особой точки выглядит следующим образом. Если разложение в ряд Лорана в окрестности точки z0 ,

ная степень определяет порядок полюса;содержит бесконечное количество членов с положительными

степенями, то z0 – существенно особая точка функции f z .

z0 , содержит бесконечное количество членов с положитель-