Уравнение Бернулли.

Движение жидкости можно рассматривать как движение слоев, каждый из которых двигается с разной скоростью. Между отдельными слоями потока возникают силы внутреннего трения. Они тормозят движение одного слоя относительно другого. Когда внутренне трение невелико, в ряде случаев им можно пренебречь. Тогда получим модель идеальной жидкости. Эта модель очень полезна для понимания механики движения жидкости.

Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Выделим в ней трубку тока, ограниченную двумя сечениями и, нормали к которым совпадают с направлением скорости. Со стороны сеченияна столб жидкости действует давление, а со сторонына выделенную трубку жидкости действует давление. Размеры сечения полагаем небольшими, так что в пределах поверхности сеченияскорость течения, давлениеи высотуможно считать одинаковыми. Аналогично для сечения: скорость течения, давлениеи высотатакже одинаковые. За малый промежуток временижидкость переместиться от сеченияк сечению, и от сеченияк. Из закона сохранения энергии следует, что изменение полной энергииидеальной несжимаемой жидкости должно равняться работевнешних сил по перемещению массыжидкости:

(1)

- полная энергия жидкости массой, заключенной между сечениямии. Аналогично,- полная энергия жидкости той же массы, заключенной между сечениямии. Работа- это работа по перемещению всей жидкости, заключенной между сечениямии, за промежуток времени. Для перемещения массыотк, жидкость должна переместиться на расстояниеи отк- на расстояние. Так как промежуток времени мал, то расстоянияитакже малы. Следовательно, малы объемы жидкости, заключенной между сечениями и

. Тогда можно считать, что в каждом из этих объемах значения давления, скорости и высоты будут иметь одинаковые величины. На основе сделанных предположений находим

(2)

Согласно определению давления имеем

и

Знак минус возник из-за того, что давление жидкости со стороны второго сечения на выделенную трубку определяется силой, которая действует на сечение . Это сила направлена внутрь выделенной трубки, т.е. противоположно течению жидкости. Полные энергииискладываются из кинетической и потенциальной энергий массыжидкости.

(3)

Подставляя выражения для энергий и работы в уравнение (1) получим

(4)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости объем жидкости остается постоянным:

.

Разделив Ур.(4) на объем, получим:

.

- плотность жидкости. Так как сечения выбраны произвольно, то последнее соотношение можно записать в виде

(5)

Это уравнение Бернулли. Оно является следствием закона сохранения энергии. В уравнение Бернулли величинаназываетсястатическим давлением– это давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела. Величина-динамическое давление, а величина-гидростатическое давление. Для горизонтальной трубкиуравнение (5) примет вид

(6)

Величина называетсяполным давлением. Из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные площади поперечного сечения, скорость жидкости в местах сужения возрастает, а в местах расширения – убывает.