Физика / 2 ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ

Кинематика

В дальнейшем, если не оговорено, будем использовать принцип относительности Галилея и инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея: в любой инерциальной системе отсчета законы физики выглядят одинаково. Пусть имеется две системы отсчета, одна неподвижная или лабораторная, другая движется с постоянной скоростью вдоль оси . Тогда координаты точки при переходе от движущейся системы отсчета к неподвижной системе преобразуются как

Изменение координат тела при движении определяет закон его движения. Закон движения имеет вид .

Число независимых величин, которые определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы. Кривая, вдоль которой происходит движение тела, называется траекторией. Длина кривой – это пройденный путь. Расстояние между исходной и конечной точками – это перемещение.

Скорость определяется:

- мгновенная скорость,

величина скорости ,

- средняя скорость, где - путь, пройденный телом за время .

Длина пути . Для равномерного движения .

Ускорение определяется:

- мгновенное ускорение,

- среднее ускорение.

Если траектория движения кривая линия, то изменение скорости можно представить в виде

, где - тангенциальная компонента скорости, - нормальная компонента скорости. Тангенциальная компонента скорости направлена по касательной к траектории, нормальная компонента – перпендикулярна траектории. Определим соответствующие компоненты ускорения:

- тангенциальное ускорение,

- нормальное ускорение. Величины этих компонент равны:

и , где - радиус кривизны траектории.

Данные формулы приведены без вывода. Полное ускорение

и

Рассмотрим случай: и . Он соответствует равноускоренному прямолинейному движению тела. Полагая, что , получаем после интегрирования уравнения

и .

Угловая скорость и угловое ускорение.

Рассмотрим вращение вокруг оси.

Рис.

Элементарный поворот рассматривается как вектор , направленный воль оси вращения согласно правилу правого винта. Это аксиальный вектор. Точкой приложения этого вектора может служить любая точка оси вращения. Угловая скорость

Длина дуги , скорость движения по траектории

Векторная форма . Это формула Эйлера. Для равномерного вращения . Это вращение характеризуется периодом . Число полных оборотов в единицу времени называется частотой вращения

или .

Угловое ускорение . Векторы и колинеарны. Связь линейных и угловых характеристик: тангенциальная компонента : нормальная компонента . Для равноускоренного движения по окружности получим

и .

Динамика

Законы Ньютона.

Первый закон Ньютона. Если на тело не действуют внешние силы, то оно находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона.

, или .

- сила. Это векторная величина, она является мерой внешнего воздействия на тело. - масса тела. Единица измерения силы – ньютон. . Закон Ньютона справедлив в инерциальных системах. Силы удовлетворяют принципу суперпозиции (независимости).

Так как полное ускорение можно разложить на две компоненты, то аналогичную процедуру можно применить к силе.

, , .

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки. . Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам) имеют одну природу и действуют парами. Для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия. Это следует из принципа суперпозиции и третьего закона Ньютон. Законы Ньютона справедливы в инерциальных системах отсчета.

Силы трения.

Пусть в поле тяжести по поверхности некоторого тела движется исследуемое тело. Опыт показывает, что в отсутствие внешних воздействий, тело будет замедляться до тех поры, пока не остановится. Это происходит за счет силы трения. Выделяют несколько видов трения.

Внешнее трение (сухое). Оно возникает в плоскости соприкосновения тел при их относительном движении.

Внутреннее трение (жидкое или вязкое). Это трение между слоями жидкости.

Когда соприкасающиеся тела покоятся, имеем трение покоя. При относительном перемещении различают трение скольжения и качения.

В случае внутреннего трения (трение между слоями жидкости), трение покоя отсутствует. Когда твердые тела разделены слоем жидкости, имеем гидродинамическое трение. Когда слой жидкости тонкий – граничное трение. Рассмотрим тело, лежащее на горизонтальной плоскости.

Рис.

Экспериментально был установлен закон: сила трения пропорциональна

силе нормального давления.

где - коэффициент трения. Сила нормального давления – это сила направленная перпендикулярно плоскости. Сила трения направлена всегда в сторону противоположную скорости движения тела.

Рассмотрим наклонную плоскость, на которой находится тело массой . Вся система находится в поле тяготения. Сила тяжести равна .

Рис.

Движение возможно, когда . Предельный случай, он соответствует началу движения:

Приравнивая , получаем для коэффициента трения

Коэффициент трения равен тангенсу угла, при котором начинается движение. Для гладких поверхностей начинает играть роль межмолекулярное притяжение. В этом случае трение скольжения примет вид.

где - истинный коэффициент трения, - площадь контакта, - добавочное давление за счет сил межмолекулярного притяжения. Сила трения качения

где - коэффициент трения качения, - радиус катящегося тела.

Центр масс. Закон сохранения импульса.

Совокупность материальных точек, которые рассматриваются как одно целое, называется механической системой. Силы, действующие между частями системы, называются внутренними. Силы со стороны внешних тел – внешними силами. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (изолированной). Пусть система состоит из материальных точек, на которые действуют внутренние и внешние силы. Равнодействующие этих сил обозначим, как и , соответственно. Согласно второму закону Ньютона

, где .

Просуммируем по всем телам (материальным точкам) системы.

, где .

Согласно третьему закону Ньютона . Далее - полный импульс системы. Если на систему не действуют внешние силы, то

. В итоге получим или полный импульс системы сохраняется. Это закон сохранения импульса для замкнутой системы. Он следует из однородности пространства.

Определим центр масс системы с координатами:

, - полная масса системы

Координатная запись центра масс

, , .

Скорость движения центра масс:

Используя второй закон Ньютона, получим

Это закон движения центра масс. Центр масс движется как материальная точка, на которую действует равнодействующая сила.