
- •Методическое указание по курсу “Физика”
- •2008 Г.
- •Введение
- •Как вести себя на зачетах и экзамене
- •Основные понятия и определения
- •1М 1650763,73λ0,
- •1С 9192631770t0,
- •Производные единицы системы си
- •Определения основных понятий в соответствии с din
- •Скалярные и векторные величины
- •Десятичные кратные и дольные единицы
- •Физические величины и единицы измерения
- •Методы измерений
- •Аналоговые и цифровые методы измерения
- •Непрерывные и дискретные методы
- •Метод отклонения и компенсационный метод
- •Погрешности измерений и причины погрешностей
- •Методы обработки экспериментальных результатов
- •Введение в практикум
- •Примеры оформления задач
- •Советы и указания
- •Выполнение работы и оформление отчета
- •20__ Г. План проведения занятия в лаборатории
- •Правила оформления раздела отчета по лабораторной работе
- •Таблицы
- •Построение графиков
- •Электроизмерительные приборы
- •Вспомогательные электрические приборы
- •Источники тока
- •Шкала приборов
- •Чувствительность и цена деления электроизмерительного прибора
- •Оценка погрешностей приборов
- •Пример оформления таблицы при использовании электроизмерительных приборов
- •Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Обработка результатов физических измерений Понятие об измерении
- •Виды погрешностей
- •Вычисление случайных погрешностей при измерениях
- •Вычисление погрешностей косвенных измерений
- •Приближенные вычисления
- •Графическое представление результатов измерений
- •Некоторые советы и указания
- •Описание приборов
- •Штангенциркуль
- •Микрометр
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № 2 Определение момента инерции махового колеса
- •Краткая теория
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Упражнение 1
- •Порядок выполнения работы
- •Упражнение 2
- •Упражнение 3
- •Порядок выполнения работы
- •Упражнение 4
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № 4 Определение момента инерции махового колеса методом колебаний
- •Краткая теория
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Измерения и обработка результатов изменений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа № 9
- •Краткая теория
- •Описание установки и методика измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Задачи уирс
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки и методика измерений
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Поверхностное натяжение
- •Теория метода
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Описание метода
- •Порядок выполнения работы
- •Задачи уирс
- •Устройство вискозиметра впж–2
- •Порядок выполнения работ
- •Задачи уирс
- •Устройство вискозиметра вз-4
- •Порядок выполнения работ
- •Задачи уирс
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Основные формулы
- •Пример оформления отчета по лабораторной работе Лабораторная работа № 6
- •Краткая теория
- •Вычисление искомых величин и расчет погрешностей
- •Графики
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №2 Изучение резонанса напряжений
- •Краткая теория
- •§1 Вынужденные электрические колебания.
- •§2 Изменение амплитуды в контуре при изменении частоты внешнего воздействия.
- •§3 Фазовые резонансные кривые.
- •§4. Резонанс напряжений.
- •§5. Резонансные кривые.
- •Изучение резонанса напряжений.
- •Порядок выполнения работы
- •Обработка результатов
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Описание установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •2. Разрядка конденсатора
- •3. Схема экспериментальной установки
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Порядок выполнения работы Проверка технического амперметра
- •Контрольные вопросы
- •Метод определения точки Кюри
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Метод тангенс–гальванометра
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Основные формулы
- •Пример оформления отчета по лабораторной работе Лабораторная работа № 1
- •Краткая теория
- •Вычисление искомых величин и расчет погрешностей
- •Графики
- •Описание поляриметра см
- •Принцип действия прибора
- •Порядок выполнения работы
- •Длины волн светофильтров
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №2 Определение концентрации сахара
- •Краткая теория
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Описание установки использующей оптическую скамью
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №4 Определения главного фокусного расстояния оптических систем
- •Краткая теория
- •Упражнение 1 Определение фокусного расстояния собирающей линзы
- •Порядок выполнения работы
- •Упражнение 2 Определение фокусного расстояния системы линз и рассеивающей линзы
- •Задачи уирс
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №5 Определение показателя преломления с помощью рефрактометра
- •Краткая теория
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Описание метода
- •Порядок выполнения работы
- •Длины волн светофильтров
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №7 Определение постоянной Стефана-Больцмана
- •Краткая теория
- •Закон Кирхгофа
- •Закон Вина
- •Формула Релея – Джинса
- •Формула Планка
- •Экспериментальная часть
- •Описание пирометра и подготовка к работе
- •Оценка температуры
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №8 Определение относительной энергии абсолютно чёрного тела при различных температурах
- •Краткая теория
- •Закон Вина
- •Экспериментальная часть
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Экспериментальная часть
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы:
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №11 Исследование температурной зависимости сопротивления металла и полупроводника
- •Краткая теория
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Лабораторная работа №12 Изучение статических характеристик транзистора
- •Краткая теория
- •Вольтамперные статистические характеристики полупроводниковых транзисторов
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Основные формулы
- •Графики
- •Пример оформления отчета по лабораторной работе Лабораторная работа № 9
- •Краткая теория
- •Вычисление искомых величин и расчет погрешностей
- •Графики
- •Физические постоянные
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Содержание
Вычисление случайных погрешностей при измерениях
Пусть при измерениях систематические погрешности пренебрежимо малы. Рассмотрим случай, когда измерение проведено большое число раз (n→∞).
Как показывает опыт, отклонение результатов измерений от их среднего значения в большую или меньшую сторону одинаковы. Результаты измерений с малым отклонением от среднего значения наблюдается значительно чаще, чем с большими отклонениями.
Расположим все
численные значения результатов измерений
в ряд в порядке их возрастания и разделим
этот ряд на равные интервалы
.
Пусть
–
число измерений с результатом, попавшим
в интервал [
].
Величина
есть вероятность ΔPi(х)
получения результата со значением в
интервале [
].
Графически
представим
,
соответствующее каждому интервалу [
]
(рис.1). Изображенная на рис.1 ступенчатая
кривая называется гистограммой. Допустим,
что измерительный прибор обладает
чрезвычайно высокой чувствительностью.
Тогда ширину интервала можно сделать
бесконечно малой величинойdx.
Ступенчатая кривая в этом случае
заменяется кривой, представляемой
функцией φ(х) (рис.2). Функцию φ(х) принято
называть функцией плотности распределения.
Её смысл состоит в том, что произведение
φ(х)dx
есть вероятность dP(x)
получения результатов со значением в
интервале от х до х+dх.
Графически значение вероятности
представляется в виде площади
заштрихованного прямоугольника.
Аналитически функция плотности
распределения записывается следующим
образом:
.
(5)
Представленную в виде (5) функцию φ(х) называют функцией Гаусса, а соответствующее распределение результатов измерений Гауссовым или нормальным.
рис.1
Параметры
иσ
имеют следующий смысл (рис.2).
–среднее значение
результатов измерений. При
=
функция Гаусса достигает максимального
значения. Если число измерений бесконечно
велико, то
равно истинному значению измеряемой
величины.
σ – характеризует степень разброса результатов измерения от их среднего значения. Параметр σ вычисляется по формуле:
.
(6)
Этот параметр представляет собой среднеквадратичную погрешность. Величину σ2 в теории вероятностей называют дисперсией функции φ(х).
Чем выше точность измерений, тем ближе располагаются результаты измерений к истинному значению измеряемой величины, и, следовательно, меньше σ.
Вид функции φ(х), очевидно, не зависит от числа измерений.
В теории вероятностей
показано, что 68% всех измерений дадут
результат, который располагается в
интервале
,
95% – в интервале [
]
и 99,7% в интервале [
].
рис.2
Таким образом, с
вероятностью (надёжностью) 68% величина
отклонения результата измерения от
среднего значения лежит в интервале
[],
с вероятностью (надёжностью) 95% – в
интервале [
]
и с вероятностью (надежностью) 99,7% – в
интервале [
].
Интервал, соответствующий той или иной вероятности отклонения от среднего значения, называется доверительным.
В реальных
экспериментах число измерений, очевидно,
не может быть бесконечно большим, поэтому
маловероятно, чтобы
совпало с истинным значением измеряемой
величины
.
В связи с этим важно оценить на основе
теории вероятностей величину возможного
отклонения
от
.
Расчеты показывают,
что при числе измерений более 20 с
вероятностью 68%
попадает в доверительный интервал [
],
с вероятностью 95% – в интервале[
],
с вероятностью 99,7% – в интервале [
].
Величина
,
определяющая границы доверительного
интервала, называется стандартным
отклонением или просто – стандартом.
Стандарт
вычисляется по формуле:
.
(7)
С учетом формулы (6), выражение (7) приобретает следующий вид:
.
(8)
Чем больше число
измерений n,
тем ближе Х располагается к
.
Если число измерений не велико меньше
15, то вместо распределения Гаусса
используют распределение Стьюдента,
которое приводит к увеличению ширины
доверительного интервала возможного
отклонения Х от
вtn,p
раз.
Сомножитель tn,p называется коэффициентом Стьюдента. Индексы Р и n указывают, с какой надежностью и какому числу измерений соответствует коэффициент Стьюдента. Величина коэффициента Стьюдента для данного числа измерений и заданной надежности определяется по таблице 1.
Таблица 1
Коэффициент Стьюдента.
Число измерений n |
Надежность Р,% | |||||||
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,999 | |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 40 60 120 ∞ |
1,00 0,82 0,77 0,74 0,73 0,72 0,71 0,71 0,70 0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,67 |
1,38 1,06 0,98 0,94 0,92 0,90 0,90 0,90 0,88 0,87 0,86 0,85 0,85 0,85 0,84 |
2,0 1,3 1,3 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 |
3,1 1,9 1,6 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 |
6,3 2,9 2,1 2,1 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 |
12,7 4,3 3,2 2,8 2,6 2,4 2,4 2,3 2,3 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 |
31,8 7,0 4,5 3,7 3,4 3,1 3,0 2,9 2,8 2,6 2,5 2,4 2,4 2,4 2,3 |
36,6 31,6 12,9 8,6 6,9 6,0 5,4 5,0 4,8 4,1 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3 |
Например, при
заданной надежности 95% и числе измерений
n=20
коэффициент Стьюдента t20,95=2,1
(доверительный интервал
)
при числе измеренийn=4,
t4,95=3,2
(доверительный интервал
).
То есть, при увеличении числа измерений
с 4 до 20 возможное отклонение
отX
уменьшается в 1,524 раза.
Таким образом, чтобы рассчитать абсолютную случайную погрешность необходимо:
Провести несколько измерений.
Найти средний арифметический результат измерений.
Вычислить по формуле (8) стандартное отклонение.
По таблице найти для заданной надежности коэффициент Стьюдента. Величина tn,p Sm есть абсолютная погрешность
в определении Х.
Результат записать в виде Х=
(с надежностью Р).
Ниже приводится пример расчета абсолютной случайной погрешности
-
№
Хi
Хi – <X>
(Хi – <X>)2
1
2
3
4
5
6
20,2
19,6
19,9
20,4
20,2
20,3
-0.1
+0.5
+0.2
-0.3
-0.1
-0.2
0.01
0.25
0.04
0.09
0.01
0.04
∑
120,6
0,44
По формуле (2)
находим среднее значение измеряемой
величины
(без указания размерности физической
величины)
.
По формуле (8) вычисляем величину стандартного отклонения
.
Коэффициент Стьюдента, определенный для n=6, и Р=95%, t6,95=2,6 окончательный результат:
Х=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (с Р=95%).
Вычисляем относительную погрешность:
.
При записи окончательного результата измерений нужно иметь в виду, что погрешность должна содержать только одну значащую цифру (отличную от нуля). Две значащие цифры в погрешности записываются лишь в том случае, если предпоследняя цифра 1. Большее число значащих цифр записывать бесполезно, поскольку они будут не достоверны. В записи среднего значения измеряемой величины последняя цифра должна принадлежать тому же разряду, что и последняя цифра в записи погрешности.
Примеры:
Х=531±2;
Х=(243±5)·102;
Х=232,567±0,003.
При проведении
нескольких измерений может получится
один и тот же результат. Это возможно в
том случае, если чувствительность
измерительного прибора низкая. Когда
измерение производится прибором с
низкой чувствительностью достаточно
и однократного измерения. Не имеет
смысла, например, многократно измерять
длину стола рулеткой с сантиметровыми
делениями. Результат измерения в этом
случае будет один и тот же. Погрешность
при проведении однократного измерения
определяется ценой наименьшего деления
прибора. Она называется приборной
погрешностью. Её значение
вычисляется по следующей формуле:
,
(10)
где γ – цена деления прибора;
t∞,p – коэффициент Стьюдента, соответствующий бесконечно большому числу измерений.
С учетом приборной погрешности, абсолютная погрешность с заданной надежностью определяется по формуле:
,
(11)
где
.
С учетом формул (8) и (10), (11) записывается так:
.
(12)
В литературе для
сокращения записи величину погрешности
иногда не указывают. Предполагается,
что величина погрешности составляет
половину единицы последней значащей
цифры. Так, например, величина радиуса
Земли записана в виде
м.
Это означает, что в качестве погрешности
следует взять величину, равную ±
м.