40

систем координат в плоскости определяется уравнениями вида:

Система уравнений (2.15) может быть записана в эквивалентной матричной форме:

В общем виде(2.16)X i - 1 = Li , i - 1 + Vi , i - 1 X i

Последовательные преобразования ряда систем координат производятся следующим образом. Пусть, например, необходимо произвести

Согласно выражению (2.16) составляем уравнение преобразования системы X3Y3 в систему X2Y2 :

Полученные результаты распространяются на замкнутые и незамкнутые кинематические цепи. Замкнутые кинематические цепи могут быть одно- и многоконтурными. Какова бы ни была одноконтурная кинематическая цепь, с каждым ее звеном связывается система координат XiYi ( i = 1, 2, 3, … , n, где n – число звеньев).

Если произвести последовательные преобразования систем координат вдоль замкнутого контура звеньев, начиная с некоторого звена или, иначе говоря, с некоторой системы координат, и вернуться к исход-

42

ному звену (к исходной системе координат), то такое преобразование будет являться тождественным. Уравнение (2.17) является уравнением замкнутости контура кинематической цепи.

В кинематических цепях плоских механизмов наибольшее распространение получили кинематические пары 5 класса: поступательные и вращательные. Рассмотрим преобразование систем координат в этих кинематических парах.

На рис. 3 представлено схематическое изображение поступательной кинематической пары, образованной звеньями i-1 и i, с которыми связаны плоские системы координат Xi-1Yi-1 и XiYi . Соответствующие координатные оси параллельны.

44

α Li,i-1 = 0 .

Получаем уравнение преобразования в матричной форме:

При рассмотрении вращательной пары удобно начала координат Оi-1 и Оi совмещать с центром пары (рис. 5). Тогда матрица Vi-1 будет

иметь прежний вид, а матрица Li,i-1 будет равна 0.

0 Li,i-1 = 0 .

yi-1 yi xi-1

i-1

i

xi

Рис. 2.17. Вращательная кинематическая пара (оси координат расположены в центре пары)

Уравнение преобразования в матричной форме будет определяться следующим образом:

2.4.2. Преобразование координат точки в пространственных механизмах

Рассмотренный выше принцип преобразования координат точки в

На рисунке l0, l1, l2 и l3 - размеры звеньев. Со звеньями 0, 1, 2 и 3 связаны системы координат X0Y0 , X1Y1 , X2Y2 и X3Y3 . Начала координат систем расположены в центрах кинематических пар А, В и С.

Уравнение преобразования координат для данной кинематической цепи будет иметь вид:

ме X0Y0 .

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных пере-

48

носов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

Произведя действия над матрицами согласно выражению (2.19), получим систему уравнений:

l1cos 0 + l2cos( 0 1 ) + l3cos( 0 1 2 ) = l0 ,

l1sin 0 + l2sin( 0 1 ) + l3sin( 0 1 2 ) = 0 . (2.20)

Кроме того, необходимо учесть, что сумма внутренних углов четырехугольника равна 2· , т.е.

0 1 π 2 π 3 2 π,

или

Решая систему уравнений (2.20) с учетом (2.21), получаем зависимости

49

3 4π 0 1 2 ,

Дифференцированием по углу поворота входного звена 0 получим величины аналогов угловых скоростей и ускорений.

Четырехзвенный механизм структуры 1- 2(2):

Схема кривошипно-ползунного механизма, в составе которого имеется структурная группа 2-го класса 2-го вида (звенья 2 и 3), показана на рис. 2.20.

Входное звено – звено 1. l1 и l2 - размеры звеньев; е – величина