1. Элементы площади ватерлинии

Чтобы определить V,х_с,z_с,необходимо знать площади ватер­линий Sи абсциссы х_fцентров тяжести этих площадей. Для расчета остойчивости следует вычислить моменты инерции площадей ватерлиний относи­тельно координатных осейОх, Оуи оси ff, проходящей через центр тяжести пло­щади ватерлинии. Вначале найдем элементы площади ватерлинии для судна, сидя­щего прямо и на ровный киль. Выделим элементарную площадь, (рис. 1) длиной dxи шириной 2у: dS = 2ydx, тогда . (1) Рис. 1. К определению элементов площади симметричной ватерлинии. Абсцисса центра тяжести площади ватерлинии равна х_f=M_y/ S, (2) где M_y — статический момент площади ватерлинии относительно оси Оу. Для определения М_увыпишем сначала выражение для ста­тического момента элементарной площади dS: dM_y = xdS = x2ydx, откуда . (3) Теперь получим формулы для определения осевых моментов инерции площади ватерлинии относительно главных центральных осей Найдем момент инерции dI_xэлементарной площади dS,для чего воспользуемся известной из теоретической механики формулой для момента инерции площади прямоугольника относительно главнойцентральной оси: , где b = dx, h = 2y, т. e. . Тогда . (4) Момент инерции площади ватерлинии S относительно осиff равен , (5) где I_у - момент инерции площади ватерлинии относительно оси Оу, определенный по формуле , (6) так как элементарный момент инерции площади dSравен ;Sx²_f — переносный момент инерции. В процессе эксплуатации судно может плавать с начальным кре­ном, когда ватерлиния несимметрична относительно ДП. Чтобы рас­считать для данного случая площадь, статические моменты, моменты инерции и другие элементы введем правые у_пи левые у_лординаты (рис. 2). Рис. 2. К определению элементов площади несимметричной ватерлинии Согласно рис. 2 выражение для площади элемента с учетом того, что у_потрицательна, можно записать в виде dS= y_ndx— у_лdx=(у_п - у_л) dx , а площадь ватерлинии как . (7) Аналогично для статического момента площади ^ S относительно оси Оуполучим (8) Тогда (9) Для несимметричной ватерлинии статический момент площади относительно осиОх не равен нулю. Статический момент для правой элементарной площадки равен , для левой – , суммарный - Тогда формула для полного статического момента запишется в виде .(10) Центр тяжести Fплощади ватерлинии будет находиться от ДП на расстоянии . (11) Для моментов инерции элементарной площадки можно записать следующие выражения ; . Следовательно, моменты инерции относительно осей координат бу­дут равны ; (12) . (13) Но в дальнейшем в расчетах нам потребуются моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести Fплощади ватерлинии. Они определяются по формулам ; . (14) Формула (10) позволяет вычислить также статический момент погруженного объема М_xzнесимметричного судна относительно ДП, а затем и ординату ЦВу_с. Статический момент может быть представлен как интегральная сумма статических моментов элементарных объемов , или с учетом (10) . Ордината ЦВ . (15) ^ 3.2. Кривые абсцисс ЦВ и центров тяжести площадей ватерлиний. Кривая аппликат ЦВ С изменением осадки судна изменяются форма и объем подводной части корпуса, вследствие чего меняются значения абсцисс ЦВх_си центров тяжести площади ватерлинии x_f.. Для определения функции х_с (z) применяют следующую формулу: . (16) Зависимость x_f (z) находят по формуле (9), проводя расчеты последовательно для всех ватерлиний. Для построения кривых х_с (z) и x_f (z) на соответствующих ватерлиниях откладывают в одинаковом масштабе значения х_си x_f(положительные вправо от вертикальной оси Oz, отрицательные - влево) и полученные точки соединяют плавными кривыми. Кривая x_f (z) следует за обводами корпуса и при резком их изменении получает излом. Кривая х_с (z) имеет более плавный характер. В точке пересечения х_с (z) и x_f (z) должен быть экстремум функции х_с (z) (см. рис. 3). Зависимость аппликаты ЦВ от осадки можно определить по формуле . (17) Кривая z_c (z) no форме напоминает грузовой размер. Кривая не имеет экстремумов (рис.4). Если все шпангоуты судна имеют форму прямоугольников, то z_c= z/2. Если же все шпангоуты имеют форму треугольников, то z_c= 2z/3. У обычных судов обводы имеют форму, промежуточную между прямоугольной и треугольной, поэтому практически z/2 ≤ z_c≤ 2z/3. На КВЛ T/2 ≤ z_c≤ 2T/3. Рис. 3. Кривые х_с (z) и x_f (z) Рис. 4. Кривая