8. Напряженность и индукция электрического поля на границе раздела двух сред. Преломление линий электрического поля.

Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями и при отсутствии на границе свободных зарядов.

Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

.

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

,

где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции

.

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим

.

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора непрерывна.

Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения

.



При переходе в среду с меньшим значением угол, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в среду с большей линии векторов E и D, напротив, сгущаются и удаляются от нормали.

9. Распределение зарядов на проводящих телах. Электрическое поле вблизи поверхности заряженного проводника. Потенциал и энергия заряженного проводящего тела.

Распределение зарядов на проводящих телах.

Выражение потенциала точечного заряда дает возможность указать для однородной среды общий метод вычисления потенциала при заданном распределении в конечной области пространства электрических зарядов.

Подразделив все распределенные в пространстве заряды (рис. 24.4) на элементарные части dq, будем рассматривать эти элементы dq как точечные заряды. Потенциал в точке A, определяемый каждым таким

Элементом, равен dU — !_^. Следовательно, потен

— 4nr

Циал, определяемый всей совокупностью распределенных в пространстве зарядов, может быть найден из формулы

Если электрический заряд распределен по объему V, причем объемная плотность заряда в некоторой точке пространства есть р, то следует разбить весь объем на элементы dV. Тогда

Если заряд распределен лишь в весьма тонких слоях у поверхности заряженных тел, как это имеет место у тел из проводящего материала, то можно считать, что заряд распределен на поверхности тел. Разбивая заряженные поверхности на элементы ds, можем написать dq — a ds, где а — поверхностная плотность заряда. Тогда выражение для потенциала принимает вид

Причем интеграл должен быть распространен по всем заряженным поверхностям. То обстоятельство, что в объемах, занятых самими заряженными телами, находится проводящая среда и, следовательно, среда во всем пространстве неоднородна, в данном случае несущественно, так как внутри проводящих тел поле отсутствует. Мы могли бы мысленно убрать проводящее вещество тел, заменив его диэлектриком с проницаемостью — и сохранив все поверхностные заряды тел. При этом поле осталось бы без изменения.

В случае когда заряд распределен на проводах, диаметр сечения которых мал по сравнению с расстояниями от проводов до точек поля, в которых определяется потенциал, можно считать заряд сосредоточенным на осях проводов. Если т — линейная плотность заряда, то dq — Tdl и

Причем интеграл распространяется вдоль всех заряженных проводов.

Наконец, при конечном числе n зарядов, которые могут рассматриваться как точечные, имеем

Учитывая соотношение E = - grad U, можем записать следующие выражения для напряженности электрического поля:

Здесь r — вектор, направленный от точки расположения заряда к точке определения напряженности поля и равный расстоянию между ними.

Электрическое поле вблизи поверхности заряженного проводника

Пусть проводник заряжен с поверхностной плотностью заряда σ.Рассмотрим небольшую цилиндрическую поверхность, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями dS, одно из которых расположено внутри, а другое вне проводника. Поток вектора электрического смещения через эту поверхность равен




Где D - величина смещения в непосредственной близости к поверхности проводника. Действительно, поток через внутреннюю часть цилиндрической поверхности равен нулю, т.к. внутри проводника , а значит и , равно нулю. Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность поля направлена по нормали к поверхности проводника. Следовательно, для выступающей наружу боковой поверхности цилиндра , а для внешнего . Внутрь цилиндра попадает свободный заряд Применяя к цилиндрической поверхности теорему Гаусса, получим , т.е. . Отсюда для напряженности поля вблизи поверхности проводника получаем

(15.1)

В общем случае распределение зарядов зависит от формы проводника и должно быть таким, чтобы создаваемое им внутри проводника поле удовлетворяло условиям . Но вследствие взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга, что и приводит к скоплению зарядов на более удаленных концах. Отсюда следует, что и плотность зарядов на выступах велика.

Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что происходит ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q , начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные, молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемого электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия.

Потенциал и энергия заряженного проводящего тела.

.

Потенциал - энергетическая характеристика электрического поля.

Потенциал - скалярная физическая величина,  равная отношению потенциальной энергии, которой облает электрический заряд в данной точке электрического поля, к величине этого заряда.

Потенциал показывает какой потенциальной энергией будет обладать  единичный положительный заряд, помещенный в данную точку электрического поля.

где - потенциал в данной точке поля,  - потенциальная энергия заряда в данной точке поля.

За единицу измерения потенциала в системе СИ принимают 

(1В = 1Дж/Кл )

За единицу потенциала принимают потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности  электрического заряда 1 Кл, требуется совершить работу, равную 1 Дж.