62. Тепловые машины. Кпд тепловой машины. 63 Цикл Карно.

Тепловой машиной называется устройство, использующее тепловую энергию для совершения механической работы.

Тепловая машина состоит из нагревателя, рабочего тела и охладителя рабочего тела. Охладителем, в конечном счете, служит окружающая среда. Тепловая машина работает по принципу замкнутого цикла, совершая круговой процесс.

1-3: раб тело, получив от нагревателя количество тепла Q₁, расширяется от объема V₁ до объема V₃.

Согласно первому закону термодинамики, это тепло расходуется на нагревание рабочего тела и на совершение механической работы

Q₁ = U₂ ‑ U₁ + A₁₃,

где U₂ ‑ U₁ — изменение внутренней энергии рабочего тела при переходе из состояния 1 в состояние 3.

3-1: при обратном цикле над газом производится работа: газ сжимается и передает охладителю количество тепла

‑ Q₂ = U₁ ‑ U₂ + A₃₁.

Складывая оба уравнения, получим Q₁ ‑ Q₂ = A₁₃ + A₃₁ =A, где А — полная работа, совершенная машиной за один цикл.

Отношение полезной работы, совершенной машиной, к количеству полученного тепла составляет КПД тепловой машины

.

Понятно, что КПД машины всегда меньше единицы, поскольку не все количество полученного тепла переходит в полезную работу.

В реальных тепловых машинах КПД, очевидно, еще меньше, так как часть тепла теряется безвозвратно в процессе работы машины. Для получения максимального КПД следует рассмотреть рабочий цикл, образованный обратимыми процессами. Этому требованию отвечает цикл, впервые рассмотренный франц ученым Карно. В качестве рабочего тела в цикле Карно рассматривается идеальный газ. Цикл Карно состоит из последовательных расширения и сжатия газа, причем каждый из процессов совершается сначала изотермически, а затем адиабатически. При прямом цикле тело по-прежнему сначала получает тепло, а затем отдает его. Достоинство цикла Карно состоит в том, что все процессы обратимы, и, следовательно, КПД такой машины будет максимальным.

1-2: газ изотермически расширяется. Внутренняя энергия газа не изменяется, и количество полученного тепла Q₁ равно работе А₁₂. .

2-3: газ адиабатически расширяется.

3‑4: изотермически сжимается, для чего охладителю должно быть отдано тепло Q₂. Работа на участке 3‑4 равна ‑ Q₂, причем .

4‑1: газ адиабатически сжимается, возвращаясь к исходному состоянию.

Для процессов 2‑3 и 4‑1 цикла Карно cледует: . (TV ^γ‑1 = const)

Разделив первое уравнение на второе, получим V₂/V₁ = V₃/V₄. После подстановки этого выражения найдем: .

Следовательно, КПД цикла Карно:

.

Из формулы следует, что КПД тепл машины определяется только разностью температур нагревателя и холодильника. КПД не зависит ни от свойств рабочего тела, используемого в машине, ни от свойств самой машины. Полученный результат показывает, что при T₁ = T₂ КПД машины равен нулю, т. е. машина не совершает работы. Работа максимальна (η = 1) при T₂ = 0. Таким образом, машина тем выгоднее, чем ниже температура охладителя.

67. Средняя длина свободного пробега молекулы газа. Среднее число соударений. Эффективный диаметр молекул.

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Под столкновением подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул называется эффективным диаметром молекул.

- эффективное сечение молекулы.

Индивидуальные особенности движения отдельных молекул не играют роли в системе большого числа частиц, поэтому под длиной свободного пробега  понимают среднюю длину пути молекулы в газе между столкновениями. Поскольку столкновения носят случайный характер, длина свободного пробега имеет вероятностный смысл: величина  тем меньше, чем больше вероятность столкновения молекул. В свою очередь, вероятность столкновения молекул определяется их плотностью и размерами молекул.

где v — средняя скорость теплового движения молекул.

Длина свободного пробега

Взаимодействие молекул в газе, молекулы которого находятся на относительно большом расстоянии друг от друга, носит характер столкновений. От частоты столкновений зависит время протекания процессов, ведущих к установлению состояния термодинамического равновесия: диффузии, теплопроводности, электропроводности. Кроме того, от частоты соударений зависит протекание фазовых переходов в таких системах.

Длиной свободного пробега молекулы газа называется расстояние, пролетаемое молекулой от одного столкновения до следующего. Эта величина в процессе соударений изменяется случайным образом, поэтому необходимо ввести среднее значение этой физической величины.

Для определения частоты столкновений и длины свободного пробега допустим, что все молекулы покоятся, а одна из них движется со средней тепловой скоростью v. Пусть все молекулы имеют одинаковый диаметр d. Пусть концентрация молекул равна n, причем для виртуального двумерного движения под концентрацией следует понимать число частиц, относящееся к единице площади, а не к единице объема. Частицы движутся, причем после каждого столкновения изменяется направление движения частицы (рис. 1). За 1 секунду молекула пройдет путь, равный ее скорости, но траектория этого движения будет не прямая, а ломаная линия. Нарисуем 2 линии, параллельные прямолинейному участку траектории движения частицы, на расстоянии, равном диаметру молекулы, от этого участка. У каждого излома этих линий будет «стоять» частица, причем для того, чтобы летящая частица могла испытать с ней соударение, нужно, чтобы центр неподвижной частицы попал между параллельными линиями.

Вычислим число ударов, испытываемых летящей частицей за одну секунду. За это время она проходит путь, равный скорости. Площадь, заключенная между параллельными линиями, приближенно равна произведению двойного диаметра на длину линии v, т.е. . Число частиц, находящихся на этой площади, равна . Это величина равна числу столкновений выделенной молекулы с другими частицами за 1 секунду. Разделив на эту величину путь v, пройденной молекулой за секунду, получим выражение для средней длины свободного пробега:

.

Эта формула получена в модели, в которой сталкивающаяся молекула имеет среднюю скорость, а остальные молекулы неподвижны. Учет реального движения других молекул довольно сложен, но практически не изменяет эту формулу, в ней дополнительно появляется лишь несущественный безразмерный множитель  в знаменателе.