Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4672 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf
Скачиваний:
728
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
3.47 Mб
Скачать
☆

4) площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

.

5. Дан треугольник ABC на плоскости: A

B

C

 

Найти его площадь S , стороны a, b, c, медиану m и высоту h, проведенные из вершины C. Сделать рисунок.

6.

Дана пирамида

ABCD:

A

B

C

D

Найти:

 

 

 

 

1) объем пирамиды V; 2) площадь основания SABC; 3) высоту HD,

опущенную из вершины D на основание ABC.

 

 

7. Даны векторы λ

,

λ , с

λ

в прямоугольной де-

картовой системе координат. Определить, при каких значениях λ век-

торы ,

и с будут компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 2

 

 

 

 

 

 

1. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1

точка M — центр грани

AA1DD1,

=

,

= ,

=

. Найти координаты вектора

в ба-

зисе

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Даны единичные векторы

и ,

 

 

. Векторы

и

являют-

 

 

ся их линейными комбинациями:

3 ,

 

5

. Найти пло-

щадь S параллелограмма, построенного на векторах

,

и длины его

диагоналей

и .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Точка M лежит на отрезке AB и делит его в отношении

 

0,4.

 

B

 

M

Найти координаты точки A.

 

 

 

4. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:

 

 

,

 

. Вычислить:

 

 

 

 

 

 

1)

скалярное произведение

 

;

 

 

 

 

 

 

2)

проекции Пр

, Пр

;

 

 

 

 

 

 

 

3)

векторное произведение

 

;

 

 

 

 

 

 

4)

площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

.

313

5. Дан треугольник ABC на плоскости: A

B

C

Найти его центр тяжести О , стороны a, b, c и биссектрису

, прове-

денную из вершины B. Сделать рисунок.

 

 

6.

Дана пирамида

ABCD: A

B

C

 

D

Найти:

 

 

 

 

1) объем пирамиды V; 2) площадь основания SABC; 3) высоту HD,

опущенную из вершины D на основание ABC.

 

 

7. Даны векторы

λ

и

λ в прямоугольной декарто-

вой системе координат. Векторы

и являются их линейными ком-

бинациями:

3

2

,

. Определить, при каких значе-

ниях λ векторы

и

будут ортогональны.

 

 

 

Тема: Аналитическая геометрия на плоскости

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

 

1.

Дан треугольник

 

:

.

Составить уравне-

ния: медианы [

],

высоты [ ] и биссектрисы [ ], проведенных из

вершины . Привести уравнения к общему виду. Сделать рисунок.

2.

Найти точку

,

симметричную точке

относительно

прямой

 

 

.

 

 

 

3. Найти расстояние от вершины

до медианы, проведенной из точки

 

в треугольнике

:

 

.

 

 

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

и уравнения высоты:

и медианы:

проведенных из различных вершин.

 

5. Вычислить эксцентриситет e эллипса, если известно, что расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между фокуса-

ми.

 

6. Точка M лежит на параболе

и находится на расстоянии

9,125 от ее директрисы. Найти расстояние r от точки M до вершины параболы.

314

 

Вариант 2

 

1. Дан треугольник

:

. Составить урав-

нения: медианы [

], высоты [

] и биссектрисы [ ], проведенных из

вершины . Привести уравнения к общему виду. Сделать рисунок.

 

2. Найти расстояние между параллельными прямыми

и

.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек P(5; -1) и Q(3; 7).

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(2; 6) и уравнения высоты: и биссектрисы:

проведенных из одной вершины.

5. Найти угол между асимптотами гиперболы, если расстояние между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.

6. На эллипсе 9x2+25y2 = 900 найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 4 раза больше расстояния от ее левого фокуса.

Тема: Аналитическая геометрия в пространстве

Вариант 1 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

параллельно векторам .

2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой :

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти угол между прямой

 

 

 

 

 

 

и плоскостью

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти точку M , симметричную точке M

 

 

относительно

прямой

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти расстояние между прямыми

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

315

6. Найти сечение поверхности 2-го порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоско-

 

 

 

 

 

 

стью

; определить параметры полученной линии.

 

 

Вариант 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Составить

уравнение плоскости, проходящей через точки

 

 

параллельно вектору

.

 

 

 

 

 

 

2. Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью

 

и координатными плоскостями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Вычислить

угол между

прямыми:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти точку M , симметричную точке M

 

 

 

 

 

 

относительно

плоскости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найти расстояние от точки

до прямой

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

6. Найти сечение поверхности 2-го порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоско-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стью

; определить параметры полученной линии.

316

Приложение 2

Ответы и решения контрольных работ

Тема: Линейная алгебра

Вариант 1

1. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: а) ; б) .

2. а)

 

 

 

 

разложение по

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

разложение по

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: а)

 

; б)

.

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложение по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложение по

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

317

4. А

, В

.

А В =

 

 

.

В А=

1∙5+2∙3+5∙41∙−2+2∙0+5∙11∙1+2∙2+5∙−30∙5−1∙3+3∙40∙−2−1∙0+3∙10∙ 1−1∙2+3∙−3−2∙5+2∙3−3∙4−2∙−2+2∙0−3∙1−2∙1+2∙2−3∙−3==313−1093 −11−16111.

А В

В А

 

 

 

.

 

 

 

 

Ответ:

.

5.

 

 

, А

.

 

А

А

А

, где

— единичная матрица.

А

 

 

 

;

А

318

 

.

 

 

 

 

 

 

Ответ:

.

6. А

. А-1

 

,

 

 

 

где

— алгебраическое дополнение элемента .

 

 

 

 

 

.

.

А-1

 

. Проверка:

 

А-1 А

.

319

А А-1

.

Ответ: А-1

.

7. А . Приведем матрицу А к ступенчатому

виду с помощью элементарных преобразований.

[

. Получили ступенчатую матрицу с 2-мя нену-

левыми строками. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

Ответ: rg A= 2.

320

8.

.

 

 

 

 

 

 

а) по формулам Крамера:

 

 

 

 

 

.

 

 

 

;

;

;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

б) матричный способ:

 

 

 

 

 

 

;

;

;

;

А-1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

,

.

321

А-1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

.

9.

.

 

 

 

 

 

 

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.

 

[

]

[ ]

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

322

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности