Линейная алгебра и аналитическая геометрия

— это уравнение пара-

болы

.

раллельными координатным плоскостям:

,

,

.

;

при

это уравнение гиперболы с

полуосями

и

:

; при

это урав-

нение

сопряженной

гиперболы с

полуосями

и

:

.

Следовательно, в сечениях гиперболического параболоида плос-

костями

при

получаем

гиперболы.

Если

, то

— это уравнение парабо-

лы

, ветви которой направлены вверх.

— это уравнение пара-

болы

, ветви которой направлены вниз.

Таким образом, в сечениях гиперболического параболоида плос-

костями

получаем параболы, ветви которых направлены вверх;

223

Рис. 4.40. Гиперболический параболоид

4.3.7. Общее уравнение поверхности 2-го порядка

Рассмотрим общее уравнение поверхности 2-го порядка:

,

где

.

привести к каноническому виду

:

, где

,

(4.1)

, где

,

(4.2)

,

(4.3)

,

(4.4)

, где

,

(4.5)

, где

(4.6)

,

(4.7)

, где

.

(4.8)

При этом канонические уравнения задают следующие поверхно-

сти:

(4.1): эллипсоид (

),

точку

(

),

пустое

множество

(

);

(4.2): однополостный гиперболоид (

),

конус (

), дву-

полостный гиперболоид (

);

(4.3): эллиптический параболоид;

(4.4): гиперболический параболоид;

(4.5): эллиптический цилиндр (

), прямую (

), пустое

множество (

);

(4.6): гиперболический цилиндр (

),

пару пересекающихся

плоскостей (

);

(4.7): параболический цилиндр;

(4.8): пару параллельных (

)

и совпадающих (

) плос-

костей, пустое множество (

).

Приведение общего уравнения поверхности 2-го порядка

к каноническому виду

Для удобства дальнейших выкладок запишем общее уравнение

поверхности 2-го порядка в следующем виде:

,

(4.9)

где

.

Рассмотрим два способа приведения общего уравнения поверх-

ности 2-го порядка к каноническому виду.

225

Пример 1.

.

Выделим полные квадраты в левой части уравнения:

.

При

параллельном переносе системы координат в точку

получим каноническое уравнение в новой системе коор-

динат:

. Это уравнение задает однополостный

Найдем собственные значения

, ,

и соответствующие им

собственные векторы

, ,

матрицы

(см. раздел 1.3.7); при

этом , ,

будут

ортогональны

(см.

[5]):

; выберем собственные векторы единичной длины:

,

,

,

.

Тогда векторы ,

образуют ортонормированный базис в

1.68.

. 1.69.

. 1.70.

.

1.71.

. 1.72.

. 1.73.

.

1.74.

. 1.75.

.

5.1.3. Определители порядка выше 3-го

Для определителя 4-го порядка найти алгебраическое дополне-

ние

(№ 1.76 – 1.78).

1.76.

,

1.77.

,

1.78.

,

Вычислить определители 4-го порядка, предварительно упро-

стив их (№ 1.79 – 1.87).

1.79.

. 1.80.

.

1.81.

. 1.82.

.

1.83.

. 1.84.

.