Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf3.61. Найти расстояние от вершины B до медианы, проведенной из точки A в треугольнике
3.62. Дан треугольник |
|
Найти |
центр О и радиус r вписанной окружности. |
|
|
3.63. Дан треугольник |
|
Найти центр |
О и радиус R описанной окружности. |
|
|
3.64. Найти точку M , симметричную точке |
относительно |
|
прямой |
|
|
3.65. Найти площадь S треугольника, заключенного между осями ко- |
||
ординат и прямой |
|
|
3.66. Через точку |
провести прямую, отсекающую равные от- |
|
резки на осях координат. |
|
|
3.67. Через точку |
провести прямую так, чтобы ее отрезок, за- |
ключенный между осями координат, делился в данной точке пополам.
3.68. Через точку |
провести прямую так, чтобы площадь тре- |
|
угольника, образованного ею и осями координат, была равна |
||
3.69. Дан треугольник |
|
На биссек- |
трисе угла A найти такую точку M, чтобы 4-хугольник |
оказал- |
|
ся трапецией. |
|
|
3.70. Дан треугольник |
|
Найти: 1) ор- |
тоцентр M1 (точку пересечения высот); 2) центр описанной окружно-
сти M2 (точку пересечения серединных перпендикуляров); 3) центр тяжести M3 (точку пересечения медиан). Проверить, лежат ли эти точки на одной прямой.
7.2.3.Дополнительные задачи
3.71.Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин |
и |
уравнения |
двух |
высот: |
|
|
и |
|
|
|
|
3.72. Составить уравнения сторон треугольника, зная |
одну из его |
||||
вершин |
и |
уравнения |
двух |
|
медиан: |
|
и |
|
|
|
|
263
3.73. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух биссектрис:
и
3.74. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения высоты: и биссектрисы:
проведенных из одной вершины.
3.75. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин |
и уравнения высоты: |
и медианы: |
|
проведенных из различных вершин. |
|
3.76. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его
вершин |
и уравнения биссектрисы: |
и медиа- |
ны: |
проведенных из различных вершин. |
|
7.3.КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА
7.3.1.Окружность
3.77.Построить окружность, найти ее центр C и радиус R:
а) |
|
б) |
в) |
г) |
. |
3.78.Составить уравнение окружности, проходящей через 3 точки:
3.79.Составить уравнение окружности, касающейся оси OX в начале координат и пересекающей ось OY в точке
3.80. Составить уравнение окружности радиуса касающейся оси OY в точке
3.81. Составить уравнение окружности, касающейся обеих осей коор-
динат и проходящей через точку |
|
3.82. Составить уравнение окружности с центром в точке |
ка- |
сающейся прямой |
|
3.83. Составить уравнение касательной к окружности |
в |
точке |
|
3.84. Составить уравнение касательной к окружности |
|
в точке |
|
264
3.85.Составить уравнение касательной к окружности
вточке
3.86.Определить угол, под которым видна окружность из точки
3.87. Найти длину d касательной, проведенной из точки |
к ок- |
|||||||
ружности |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.88. Составить уравнение |
окружности, |
проходящей через |
точку |
|||||
и касающейся прямых |
|
|
и |
|
||||
|
|
7.3.2. Эллипс |
|
|
|
|
||
3.89. Построить эллипс: |
|
|
|
Найти его полуоси |
и , |
|||
фокусы и |
эксцентриситет , расстояние между директрисами d; |
|||||||
составить уравнения директрис D1 и D2. |
|
|
|
|
||||
3.90. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно: |
|
|||||||
а) |
б) |
в) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
г) |
д) |
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.91.Построить эллипс; найти его центр C, полуоси a и b, фокусы
,эксцентриситет , расстояние между директрисами d; составить уравнения директрис D1 и D2:
а)
б)
в)
3.92. Вычислить эксцентриситет эллипса, если известно: а) малая ось его видна из фокуса под прямым углом;
б) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей; в) расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между
фокусами. |
|
3.93. На эллипсе |
найти точку, расстояние которой |
от правого фокуса в 4 раза больше расстояния от ее левого фокуса.
265
3.94. Через фокус |
эллипса |
|
|
|
проведена хорда, пер- |
|
|
пендикулярная к большой оси. Найти длину этой хорды.
3.95. Составить уравнение касательной к эллипсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3.96. |
Составить |
уравнения |
касательных, проведенных |
из точки |
|||||||||||||||
|
к эллипсу |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.97. Составить уравнения касательных к эллипсу |
|
|
|
|
|
|
|
, парал- |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
лельных прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.98. Составить уравнения касательных к эллипсу |
|
|
|
, пер- |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
пендикулярных к прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
7.3.3. Гипербола |
|
||||||||||||
3.99. |
Построить |
гиперболу: |
Найти ее полуоси |
||||||||||||||||
и |
, фокусы |
и |
|
эксцентриситет , расстояние между директри- |
сами d, угловой коэффициент k асимптот; составить уравнения асимптот и и директрис D1 и D2.
3.100. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно:
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
|
г) |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||
д) |
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.101. Построить гиперболу; найти ее центр C, полуоси и , фоку- |
||||||||||||
сы и |
эксцентриситет |
, расстояние между директрисами d; со- |
||||||||||
ставить уравнения асимптот |
и |
и директрис D1 и D2: |
||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.102. Вычислить эксцентриситет |
гиперболы, если известно: |
|||||||||||
а) угол между асимптотами равен |
; |
|
|
|
|
|||||||
б) угол между асимптотами равен |
; |
|
|
|
|
266
в) действительная ось гиперболы видна из фокуса сопряженной гиперболы под углом в 3.103. Найти угол между асимптотами гиперболы, если расстояние
между фокусами вдвое больше расстояния между директрисами.
3.104. На гиперболе |
|
|
|
найти точку, расстояние которой от |
|
|
левого фокуса в раза больше расстояния от ее правого фокуса.
3.105. Составить уравнение касательной к гиперболе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.106. |
Составить |
уравнения касательных, проведенных из |
точки |
|||||||||||||||||
|
к гиперболе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.107. Составить уравнения касательных к гиперболе |
|
|
|
|
|
|
|
, |
па- |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
раллельных прямой |
|
|
|
|||||||||||||||||
3.108. Составить уравнения касательных к гиперболе |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
перпендикулярных к прямой |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7.3.4. Парабола |
|
|
|
||||||||||
3.109. Построить параболу. Найти ее параметр p, ось симметрии |
и |
|||||||||||||||||||
фокус ; составить уравнение директрисы D. |
|
|
|
|||||||||||||||||
а |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
г |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.110. Написать каноническое уравнение параболы, если известно: |
|
|||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
точка |
|
|
|
|
|
лежит на параболе |
|
|
|
||||||||||
в) |
— фокус параболы. |
|
|
|
3.111. Построить параболу; найти ее вершину C, параметр p, ось сим-
метрии |
и фокус ; составить уравнение директрисы D: |
||
а |
б |
|
|
в |
г |
|
. |
|
267
3.112. Точка лежит на параболе |
и находится на расстоя- |
|||||||||||||||
нии 9,125 от ее директрисы. Найти расстояние от точки |
до верши- |
|||||||||||||||
ны параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.113. Через фокус параболы |
|
|
|
проведена хорда, перпендику- |
||||||||||||
лярная к ее оси. Найти длину этой хорды. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.114. Составить уравнения |
касательных, |
проведенных из |
точки |
|||||||||||||
к параболе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.115. Составить уравнения касательных к параболе |
, парал- |
|||||||||||||||
лельных прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.116. Составить уравнения касательных к параболе |
|
, пер- |
||||||||||||||
пендикулярных к прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3.5. Дополнительные задачи |
|
|
||||||||||||||
3.117. Найти расстояние от эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
до |
прямой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3.118. Найти расстояние от гиперболы |
|
|
|
|
|
|
|
до |
прямой |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.119. Найти расстояние от параболы |
|
|
|
|
|
до |
прямой |
|||||||||
3.120. Из левого фокуса эллипса |
|
|
|
|
под углом |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
α к оси OX направлен луч света. Составить уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.
3.121. Из правого фокуса гиперболы |
|
|
|
под углом |
|
|
αк оси OX направлен луч света. Составить
уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы.
3.122. |
Из фокуса |
параболы |
под углом |
|
||
|
||||||
α |
|
|
к оси |
OX направлен луч |
света. Составить уравнение |
|
|
|
прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
268
Методом собственных векторов привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и найти кано-
ническую систему координат |
(№ 3.123 – 3.128). |
3.123. |
. |
3.124. |
. |
3.125. |
. |
3.126. |
. |
3.127. |
. |
3.128. |
. |
8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
8.1. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Установить, какие поверхности задаются следующими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат в пространст-
ве. Изобразить схематически эти поверхности (№ 4.1 – 4.10). |
|
|||||||||
4.1. |
. 4.2. |
. 4.3. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
4.4. |
. |
4.5. |
. |
4.6. |
|
. |
||||
4.7. |
|
|
. 4.8. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.9. |
2 |
. 4.10. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Составить уравнение плоскости |
в пространстве и привести его |
||||||||
к общему виду (№ 4.11 – 4.15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.11. Нормальное уравнение ( , |
): |
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.12. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( |
|
|
||||||||
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
4.13. Уравнение плоскости «в отрезках» ( |
|
|
|
|
||||||
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
269
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||
в |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
4.14. Нормированное уравнение ( |
|
|
|
|
, d( ; ) ): |
||||||||
а) |
|
|
, |
, |
, |
б) |
|
, |
|
, |
, |
||
|
|
|
|||||||||||
в) |
, |
, |
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.15. «Неполное» уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Установить, какие линии задаются следующими уравнениями в |
прямоугольной декартовой системе координат в пространстве. Изобразить схематически эти линии (№ 4.16 – 4.27).
4.16. |
; 4.17. |
, |
; |
|
|
|
|
4.18. |
|
; 4.19. |
|
, |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
4.20. |
|
; 4.21. |
|
|
|
; |
4.22. |
|
; 4.23. |
|
|
|
; |
4.24. |
|
; 4.25. |
|
; |
|
|
4.26. |
|
; 4.27. |
|
. |
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
Составить канонические и параметрические уравнения прямой
в пространстве (№ 4.28 4.30). |
|
|
4.28. |
: |
|
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
. |
|
4.29. |
: |
|
а) |
б) |
|
в) |
. |
|
4.30. |
: |
|
а) |
; б) |
. |
8.2. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
8.2.1. Основные задачи
4.31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
па- |
||||
раллельно плоскости . |
|
|
|
|
|
а) |
: |
б) |
|
: |
. |
4.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки |
и |
||||
|
перпендикулярно к плоскости . |
|
|
|
|
а) |
|
: |
|
|
|
б) |
|
: |
|
. |
|
4.33. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
па- |
||||
раллельно векторам a1, a2. |
|
|
|
|
|
а) |
a1 |
a2 |
б) |
a1 |
|
a2 |
. |
|
|
|
|
4.34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки |
и |
||||
|
параллельно вектору a. |
|
|
|
|
а) |
|
a |
б) |
|
|
a |
. |
|
|
|
|
271
4.35. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
|
и перпендикулярной к плоскостям: |
|
и |
|||
4.36. |
Вычислить |
объем |
пирамиды, |
ограниченной |
плоскостью |
|
|
|
и координатными плоскостями. |
|
|
||
4.37. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
|
и отсекающей от осей координат положительные и рав- |
ные отрезки.
4.38. Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугранный
угол, |
образованный |
плоскостями: |
и |
|
4.39. В пирамиде |
найти двугранный угол между боковой гра- |
|||
нью [ |
] и основанием [ |
], если известно: |
||
4.40. Найти расстояния от точки |
до плоскости, проходя- |
щей через точки 4.41. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку |
|
|
|
|
и параллельной прямой: |
|
|
|
|
||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
; б) |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
4.42. Вычислить угол между прямыми: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.43. Вычислить угол между прямыми: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
. |
|
4.44. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку |
и перпендикулярной к плоскости |
||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
4.45. Найти точку пересечения прямой |
|
|
|
|
|
и плоскости |
|
|
|
|
|||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
4.46. Найти проекцию точки |
на плоскость |
||||||
|
. |
|
|
|
|
|
|
272