- •А. Б. Корчагин, в. С. Сердюк, а. И. Бокарев Надежность технических систем и техногенный риск
- •Часть 2. Практикум
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Примеры расчета надежности
- •1.1. Замечания по решению задач
- •1.2. Критерии и количественные характеристики надежности
- •1.3. Критерии надежности невосстанавливаемых изделий
- •Интенсивность отказов элементов
- •1.4. Критерии надежности восстанавливаемых изделий
- •1.5. Примеры решения задач
- •2. Примеры анализа надежности и риска систем
- •2.1. Расчет надежности системы аспирации
- •Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы элементов вентиляционной системы
- •2.2. Анализ опасностей и рисков сварочного цеха
- •2.2.1. Задачи и цели проведения анализа риска
- •Технические характеристики сварочного аппарата «дуга 318 м1»
- •Технические характеристики полуавтомата сварочного «кристалл пдго-570-4к»
- •2.2.2. Расчет надежности оборудования и риска
- •Вероятность возникновения аварийной ситуации
- •Вероятность событий, приводящих к причинению ущерба здоровью электросварщика
- •2.3. Анализ и расчет надежности и рисков окрасочной линии
- •2.3.1. Расчет надежности
- •Интенсивность отказов элементов окрасочной линии
- •Расчет вероятности безотказной работы элементов в период нормальной эксплуатации
- •2.3.2. Расчет риска травмирования работников
- •2.4. Расчет надежности и риска системы вентиляции
- •2.4.1. Обоснование необходимости расчета надежности и риска
- •2.4.2. Определение значений вероятности безотказной работы
- •Интенсивность отказов элементов системы вентиляции
- •2.4.3. Анализ надежности вентиляционных систем методом «дерева неисправностей»
- •Значения вероятностей отказа и безотказной работы
- •2.4.4. Расчет вероятности причинения ущерба здоровью
- •Вероятность событий, приводящих к причинению ущерба здоровью аппаратчика
- •2.5. Анализ надежности системы газоснабжения оборудования
- •2.5.1. Описание системы газоснабжения
- •2.5.2. Определение вероятности отказа системы газоснабжения
- •Интенсивность отказов элементов системы газоснабжения
- •Значения вероятностей отказов системы
- •2.5.3. Расчет вероятности причинения ущерба здоровью
- •Вероятность событий, приводящих к причинению ущерба здоровью электрогазосварщика
- •2.6. Анализ риска усорезной пилы
- •2.6.1. «Дерево неисправностей» усорезной пилы
- •Интенсивность отказов элементов усорезной пилы
- •2.6.2. Анализ риска травмирования сборщика конструкций пвх при работе с усорезной пилой
- •Исходные данные для построения «дерева рисков»
- •2.7. Анализ риска вальцов
- •2.7.1. Анализ надежности вальцов методом построения «дерева неисправностей»
- •Интенсивность отказов
- •2.7.2. Анализ риска травмирования вальцовщика
- •Классификация условий труда при профессиональной деятельности
- •Полуколичественная оценка риска по девятибалльной системе
- •3. Контрольные задания по дисциплине «Надежность технических систем и техногенный риск»
- •3.1. Определение надежности объекта
- •Задачи по определению надежности объекта
- •3.2. Структурно-логический анализ технических систем. Расчет вероятности безотказной работы систем
- •3.3. Расчет вероятности безотказной работы сложных систем
- •Расчет надежности
- •3.4. Анализ и расчет надежности, расчёт риска объекта методами «дерева неисправностей» и «дерева рисков»
- •3.4.1. Расчетные формулы
- •3.4.2. Описание системы «станок сверлильно-расточной группы»
- •Технические характеристики станка 2н135
- •Технические характеристики станка 2м55
- •3.4.3. Анализ и расчет надежности системы «станок»
- •Интенсивность отказов элементов металлорежущего станка
- •Расчетные данные по вероятности отказов станка
- •3.4.4. Анализ и расчет рисков
- •Задание 4
- •3.5. Определение риска сокращения продолжительности жизни при радиоактивном загрязнении
- •Исходные данные для определения риска сокращения продолжительности жизни при радиоактивном загрязнении
- •Исходные данные для расчета величины риска и времени ожидаемого появления признаков заболевания вибрационной болезнью у работников
- •Контрольные вопросы по курсу
- •Заключение
- •Библиографический список
- •ПриложениЯ
1.5. Примеры решения задач
Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность отказов и параметр потока отказов, вычисленные по формулам (1.35), (1.6) и (1.13), являются постоянными в диапазоне интервала времени ∆t, а функции ,, – ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом результаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середине интервалов ∆ti и соединенных плавной кривой.
Пример 1
Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч
Дано: N = 1000 шт. ∆t = 3000 ч n = 80 шт. |
Решение: ; ; или. | |
Найти: P(t) Q(t) |
| |
|
|
Пример 2
Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000–4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000–4000 ч.
Дано: N = 1000 шт. ∆t1 = 3000 ч n1 = 80 шт. ∆t2 = [3000, 4000] n2 = 50 шт. |
Решение: ; ч–1; , где ; шт.; шт.; шт.; ч–1. | |
Найти: a(∆t2) λ(∆t2) |
| |
|
|
Пример 3
На испытание поставлено N0 = 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n(t) = 200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t) = 100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказов λ(3050).
t
= 0
t
= 3000 ч ∆t
= 100 ч
Рис. 1.3. Временной график
Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100 шт. |
Решение: Вероятность безотказной работы определяется по формуле . Для t = 3000 ч (начало интервала) . Для t = 3100 ч (конец интервала) . Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t: . Число изделий, отказавших за время t = 3050 ч: , тогда | |
Найти: Р(3000) Р(3100) Р(3050) f(3050) f(3000) f(3100) λ(3000) λ(3050) λ(3100) |
|
.
Определяется частота отказа:
; ч–1.
Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0.
ч–1;
ч–1.
Определяется интенсивность отказов:
а) в интервале ∆t= 3050 ч,;
ч–1;
б) в интервале ч,шт.;
ч–1;
в) в интервале ч,шт.;
ч–1.
Пример 4
В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь период зарегистрировано n = 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ tср.
Дано: n= 15 t1= 258 ч t2= 1233 ч |
Решение: Наработка за указанный период составила ∆t = t1– t2 = 1233 – 258 = 975 ч. Наработка на отказ по статистическим данным определяется по формуле , | |
Найти: tср |
|
где ti – время исправной работы между(i – 1)иi отказами;n –число отказов за некоторое времяt.
Приняв = 975 ч, можно определить среднюю наработку на отказ
tср= = 65 ч.
Пример 5
Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму – 11 отказов, третьему – 8 отказов. Наработка первого объекта t1 = 6181 ч, второго t2 = 329 ч, третьего t3 = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.
Дано: N = 3 шт. n1 = 6 шт. n2 = 11 шт. n3 = 8 шт. t1 = 181 ч t2 = 329 ч t3 = 245 ч |
Решение: 1-й вариант решения: ; ; ч; |
Найти: tср | |
2-й вариант решения: |
,,;
ч;ч;ч;
ч.
Как видно, у задачи есть два варианта решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки; второй – более детальный: сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.
Пример 6
Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказали 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.
Дано: N= 5 шт. n1= 34 шт. n2= 24 шт. n3= 4 шт. n4= 6 шт. n5= 5 шт. t1 = 952 ч t2 = 960 ч t3–5= 210 ч
|
Решение: Используются следующие соотношения: ;. Определяется интенсивность отказов для каждого прибора (N= 1): , где Nср – среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t. ч–1;ч–1; ч–1; | |
Найти: tср |
|
ч –1; ч–1;
или
ч–1;
тогда интенсивность отказов системы будет
ч–1.
Средняя наработка на отказ системы равна
ч.
Пример 7
За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t1 = 12 мин, t2 = 23 мин, t3 = 15 мин, t4 = 9 мин, t5 = 17 мин, t6 = 28 мин, t7 = 25 мин, t8 = 31 мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.
Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин |
Решение: ; мин. |
Найти: tср.в |
Пример 8
Аппаратура имела среднюю наработку на отказ tcp = 65 ч и среднее время восстановления tв = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности Кг.
Дано: tcp = 65 ч tв = 1,25 ч
|
Решение: ; .
|
Найти: Кг |
Пример 9
Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 · 10–5 ч–1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ tср, если t = 500, 1000, 2000 ч.
Дано: λ =2,5·10–5 ч–1 t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч |
Решение: ; ; ; ; ;
|
Найти: P(t) f(t) tср |
ч–1;
ч–1;
ч–1;
tср =;
ч.
Пример 10
Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), tср при t1 = 500 ч, t2 = 1000 ч, t3 = 2000 ч, если параметр распределения σ = 1000 ч.
Дано: t1 = 500 ч t2 = 1000 ч t3 = 2000 ч σ = 1000 ч |
Решение: Необходимо воспользоваться формулами, соответствующими закону распределения Рэлея ([8], табл. 1.1) ; ч–1; ч–1; |
Найти: P(t) f(t) λ(t) tср |
ч–1;
;
;
;
;
;
ч–1;
ч–1;
ч–1;
;
ч;
ч;
ч.
Пример 11
Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла – Гнеденко с параметрами k = 1,5, λо = 10–4 ч–1, а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.
Дано: k = 1,5 λо = 10–4 ч–1 t = 100 ч |
Решение: Используются формулы закона Вейбулла – Гнеденко для определения количественных характеристик. Определяется вероятность безотказной работы: ;
Частота отказов определяется по формуле . |
Найти: P(t) f(t) λ(t) tср |
Тогда
ч–1
Интенсивность отказов определяется по формуле
;
ч–1.
Вычисляется средняя наработка до первого отказа
.
Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([8], табл. П.7.18):
.
Значения гамма-функции
х |
Г (х) |
1,67 |
0,90330 |
Полученные значения подставляют в формулу [8, с. 38]:
ч.
Пример 12
Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч–1, а среднее время восстановления tВ = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности и функцию готовности изделия.
Дано: tВ= 10 ч λ= 0,02 ч–1 |
Решение: Коэффициент готовности изделия определяется по формуле
Средняя наработка до первого отказа равна . Тогда |
Найти: КГ РГ |
Функция готовности изделия определяется по формуле
,
где t – любой момент времени, при t = 0 система находится в исправном состоянии.
.
Пример 13
Система состоит из 12 600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = 0,32·10–6 ч–1.
Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.
Дано: N = 12 600 λср= 0,32·10–6 ч–1 t = 50 ч |
Решение: Интенсивность отказов системы определяется по формуле ч–1. Вероятность безотказной работы по экспоненциальному закону равна: . |
Найти: P(t) |
Пример 14
Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризует- ся вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p1(t) = 0,98; p2(t) = 0,99; p3(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975.
Требуется определить вероятность безотказной работы системы.
Дано: N = 5 p1(t) = 0,98 p2(t) = 0,99 p3(t) = 0,97 p4(t) = 0,985 p5(t) = 0,975 |
Решение: Необходимо воспользоваться формулой для определения безотказной работы системы:
Вероятности p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t) близки к единице, поэтому вычислить Рс(t) удобно, пользуясь приближенной формулой. В данном случае q1 = 0,02; q2 = 0,01; q3 = 0,03; q4 = 0,015; q5 = 0,025. Тогда |
Найти: Рс(t) |
Пример 15
Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ1 = 0,16·10–3 ч–1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ2 = 0,23·10 –4t ч–1, λ3 = 0,06·10–6t2,6 ч–1.
Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.
Дано: N= 3 λ1= 0,16 ·10–3 ч–1 λ2= 0,23 ·10–4t ч–1 λ3= 0,06 ·10–6t2,6 ч –1 t = 100 ч |
Решение: Так как λ ≠const, то на основании формулы можно написать
|
Найти: Р(t) | |
|
при t = 100 ч
Пример 16
Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т1 =160 ч, Т2 = 320 ч, Т3 = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности.
Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.
Дано: N= 3 Т1 = 160 ч Т2 = 320 ч Т3 = 600 ч |
Решение: Согласно экспоненциальному закону . Интенсивность отказов системы: . Средняя наработка до первого отказа системы: , |
Найти: tср.с | |
|
следовательно,
Пример 17
Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р1(100) = 0,95; р2 (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы tср.с.
Дано: N = 2 t = 100 ч р1(100) = 0,95 р2 (100) = 0,97 |
Решение: Определяется вероятность безотказной работы изделия: . Определяется интенсивность отказов изделия по формуле ; ч–1, |
Найти: tcp.c |
ч.
П
Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.
Дано: p(t)= 0,9997 N = 100 |
Решение: 1-й вариант решения: Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то . 2-й вариант решения: |
Найти: Pc |
Так как вероятность близка к единице, то можно воспользоваться следующей формулой:
.
Для одного элемента системы:
т. е.
.
Из следует.
Получается, что первый вариант решения более точен.
Пример 19
Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Рс(t) = 0,95. Система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента рi(t).
Дано: Рс(t)= 0,95 N = 120 |
Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет . Так как близка к единице, то вычисления удобно выполнять по формуле . |
Найти: Рi(t) |
Тогда
.
Пример 20
В системе Nс = 2500 элементов, вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Рс(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4·10–6 ч–1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы tср.с.
Дано: Nс = 2500 Рс(1) = 98 % λ= 8,4·10–6ч–1 |
Решение: Интенсивность отказов системы определим по формуле λс = N ·λ = 8,4 · 10–6 · 2500 = 0,021 ч–1, средняя наработка до первого отказа системы равна: tср.с = 1/λс= 1/0,021 = 47,6 ч.
|
Найти: tср.с |
Пример 21
Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 ч равны: p1(100) = 0,9996; p2(100) = 0,9998; p3(100) = 0,9996; p4(100) = 0,999; p5(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 ч.
Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.
Дано: t = 100 ч p1(100) = 0,9996 p2(100) = 0,9998 p3(100) = 0,9996 p4(100) = 0,999 p5(100) = 0,9998 |
Решение: По условиям задачи отказы приборов независимы, поэтому вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы приборов. Тогда для случая высоконадежных систем (при значенях рi, близких к единице) имеем: , |
Найти: fс | |
|
Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой
интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:
ч–1,
тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:
ас(t) λс(1 – λсt)= 2,2·10–5(1 – 2,2·10–5·100) = 2,195·10–5ч–1.
Пример 22
Изделие состоит из 12 маломощных низкочастотных германиевых транзисторов, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 50 керамических конденсаторов, 168 резисторов типа МЛТ, 1 силового трансформатора, 2 накальных трансформаторов, 5 дросселей и 4 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа.
Дано: N1 = 12 N2 = 4 N3 = 50 N4 = 168 N5= 1 N6= 2 N7 = 5 N8 = 4 t= 200 ч |
Решение: Для решения данной задачи вычисляются величины интенсивности отказов изделия, затем составляется и заполняется таблица 1.2. Значения интенсивности отказов элементов выбираются из [8] (табл. П.3.1, П.3.5, П.3.7).
|
Найти: Рс(200) tср.с |
Таблица 1.2
Наименование и тип элемента |
Количество элементов Ni |
Интенсивность отказов, ч–1 | |
λi · 10 –5 |
Ni λi · 10 –5 | ||
Транзистор маломощный низкочастотный германиевый |
12 |
0,3 |
3,6 |
Выпрямитель плоскостной кремниевый |
4 |
0,5 |
2 |
Конденсатор керамический |
50 |
0,14 |
7 |
Резистор типа МЛТ |
168 |
0,05 |
8,4 |
Трансформатор силовой |
1 |
0,3 |
0,3 |
Трансформатор накальный |
2 |
0,2 |
0,4 |
Дроссель |
5 |
0,1 |
0,5 |
Катушка индуктивности |
4 |
0,05 |
0,2 |
ч–1.
По данным табл. 1.2 и по формуле для экспоненциального закона находится вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и средняя наработка до первого отказа: