itmo114

x 2 + y 2 = 2z , (p > 0,q > 0) p q

Исследуем форму этой поверхности. Прежде всего заметим, что z > 0 для любых x и y , отличных от нуля, причем z = 0 , если x = 0 и y = 0 . Это означает, что поверхность проходит через начало координат и лежит в

Вывод: поверхность имеет форму чаши, проходящей через начало координат и вытянутой вдоль оси Oz. Если p =q , то поверхность называется

параболоидом вращения.

5. Гиперболический параболоид

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверх-

ность, имеющая каноническое уравнение

кается с координатной плоскостью xOy по прямым линиям.

2) Положим x = 0 , получаем в координатной плоскости yOz параболу y 2 = −2qz . Заметим, что ветви этой параболы направлены вниз.

3)Полагая x =h (h > 0) , получаем ту же параболу, приподнятую вверх на величину qhp 2 , т.е. y 2 = −2qz + qhp 2 .

4)В координатной плоскости xOz (y = 0) имеем параболу x 2 = 2pz .

Проводя другие сечения, приходим к выводу, что поверхность имеет форму седла. (рис. 3.6.5)

70

уравнение x 2 +y 2 −z 2 = 0 . Исследовать форму этого конуса нетрудно, про-

ведя различные сечения этой поверхности.

Отметим ещё одно важную особенность уравнения конуса: как правило это однородное уравнение относительно разностей (x −a ) , (y −b) и (z −c ) ,

где точка M 0 (a ,b,c ) - вершина конуса. На рис.3.6.7 изображён конус с вершиной в начале координат, т.е. для данного конуса a = 0 , b = 0 и c = 0 .

y

y

y

y

§7. Поверхности вращения

Поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг оси, расположенной в её плоскости, называется поверхностью вращения. Эта ось называется осью вращения поверхности. Очевидно, если пересекать поверхность вращения плоскостями, перпендикулярными к оси вращения, то в сечениях будут окружности с центрами на оси вращения.

Рассмотрим правило получения уравнения поверхности, образованной вращением линии, лежащей в координатной плоскости вокруг оси координат.

Найдём уравнение поверхности, полученной от вращения этой линии вокруг оси Oz (рис.3.7.1). Введём на поверхности произвольную точку M (x ,y ,z ) и проведём через неё плоскость, перпендикулярную к оси вра-

щения. Обозначим через M 1 и N точки пересечения построенной плоско-

сти соответственно с данной линией L и осью вращения (осью Oz). Координаты z всех трёх точек M , M 1 и N равны между собой. Поэтому имея

в виду, что координаты точки N есть (0,0,z ) , найдём радиус N M окружности, получившейся в сечении поверхности плоскостью, как расстояние между точками N и M , он равен x 2 +y 2 . С другой стороны, так как

72

ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Матрицы. Основные понятия

1. Основные понятия

Матрицами в математике называют математические объекты, имеющие вид таблицы.

с размерами m ×n , где m - число строк, а n - число столбцов, для которых определено равенство и действия сложения, умножения и умножения на число, которые мы определим далее.

Заметим, что элементами матрицы могут быть как числа действительные или комплексные, так и другие математические объекты, например, функции (в этом случае матрица называется функциональной).

Иногда матрицы обозначают так:

или более кратко:

Если число строк n данной матрицы совпадает с числом её столбцов, то матрица называется квадратной, при этом говорят, что она имеет порядок n или размеры n ×n , т.е. квадратная матрица имеет вид

Элементы a11 , a 22 , …, ann квадратной матрицы A образуют так назы-

ваемую главную диагональ или говорят, что они стоят на главной диагонали; элементы a n 1 , a (n −1)2 , …, a1n образуют так называемую побочную диа-

74

cij =aij +bij (i =1,2,...,m ;j =1,2,...,n )

Непосредственно из определения сложения матриц A и B вытекают основные свойства операции сложения матриц:

1)A +B =B +A , т.е. сложение коммутативно;

2)(A +B ) +C =A +(B +C ) , т.е. сложение ассоциативно;

3) Существует нулевая матрица O [m ×n ] такая, что A +O =A для любой матрицы O [m ×n ].

3. Умножение матриц на число. Матрица C = λ A называется про-

изведением числа λ на матрицу A[m ×n ], если для каждого элемента матрицы C [m ×n ] справедливо соотношение

cij = λaij (i =1,2,...,m ;j =1,2,...,n )

Очевидны свойства этой операции.

1)(λμ)A = λ(μA ) , где μ =const

2)λ(A +B ) = λA + λB (дистрибутивность относительно сложения мат-

риц)

3) (λ + μ)A = λA + λB (дистрибутивность относительно сложения кон-

стант)

Заметим, что здесь B [m ×n ] - матрица.

4. Умножение матриц. Матрица C [m ×n ] называется произведением матрицы A[m ×r ] на матрицу B [r ×n ], если для любого элемента матрицы C имеет место соотношение

n

cij =ai 1b1j +ai 2b2j +... +air brj = ∑aikbkj , (i =1, 2,...,m ;j =1, 2,...,n ) .

k =1

При этом пишут: C =A B .

Прежде всего отметим, что из определения произведения матрицы A[m ×r ] на матрицу B [r ×n ] следует, что умножать матрицу A на матрицу B можно лишь в том случае, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B . Кроме того ясно, что в данном случае, вообще говоря, A B ≠B A , так как если r ≠m , то B A то просто не определено, т.е. произведение матриц некоммутативно.

Квадратные матрицы одного порядка называются коммутирующими, если A B =B A . Очевидно, что A E =E A =A , т.е. единичная матрица при умножении матриц играет роль обычной единицы. Можно доказать справедливость и других свойств умножения матриц. Принимая во внимание сказанное, перечислим основные свойства умножения матриц:

1) A B ≠B A (умножение матриц некоммутативно)

2) (A B ) C =A (B C ) (умножение матриц ассоциативно)

3) (A +B ) C =A C +B C (умножение матриц дистрибутивно относительно сложения матриц);

76

Пример 3. Вычислить C =B A , если

1 B =(2 1 1), A = 2 .

1

Решение. B [1×3], A[3×1], значит, произведение B A определено, причём C [1×1].

Итак:

1

C =B A =(2,1,1) 2 =(2 1+1 2 +1 1) = (5)1

Получили матрицу, имеющую только один элемент a11 =5.

Решение.

A B ≠B A , т.е. в данном случае матрицы A и B не коммутируют.

3. Транспонированная матрица

Определение 1. Матрица AT называется транспонированной по отношению к данной матрице A , если она получается из матрицы A путём замены в ней всех строк на соответствующие им столбцы.

Пусть

78