itmo114
.pdf
Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики
(технический университет)
Кафедра высшей математики
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2001
Министерство образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики
(технический университет)
Кафедра высшей математики
Элементы теории линейных пространств
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2001
Коллектив авторов:
Л.И. Брылевская, И.А. Лапин, Л.С. Ратафьева., О.Л. Суслина
Элементы теории линейных пространств / Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой / Учебное пособие.- СПб:СПбГИТМО (ТУ), 2001. - 140 c
Предлагаемое учебное пособие представляет собой второе издание учебного пособия того же названия, изданного в ЛИТМО в 1982 г., в которое внесены некоторые дополнения и изменения. Пособие представляет собою базовый конспект лекций по высшей математике для студентов 1-го курса (1 семестр) общеинженерных специальностей – направление 55000 – технические науки. Содержание пособия соответствует образовательным стандартам и программе по высшей математике министерства образования Российской Федерации, утверждённой в 2000 г.. Содержит достаточно большое количество разобранных примеров и задач.
В пособии рассмотрены следующие разделы: «Теория определителей», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Элементы теории матриц и линейных алгебраических систем», «Элементы теории линейных пространств».
Содержание разбито на главы, параграфы и пункты. Нумерация формул, теорем и примеров сделана по параграфам.
При написании данного пособия использовались материалы учебных пособий, изданных в разное время в СЗПИ, а также книг и учебников, приведённых в списке литературы (без специальных ссылок)
Одобрено на заседании кафедры высшей математики ИТМО (ТУ) (протокол № 3 от 8.02.2000 г.).
© Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Элементы теории определителей................................... |
5 |
§ 1. Определители второго порядка ................................................................ |
5 |
§ 2. Определители третьего порядка.................................................................. |
7 |
§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка ...................................... |
9 |
§ 4. Определители высших порядков................................................................. |
13 |
§ 5. Исследование и решение линейных систем............................................... |
15 |
Глава II. Векторная алгебра .......................................................... |
17 |
§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними ................................. |
17 |
§ 2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на |
|
плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система |
|
координат.............................................................................................................. |
19 |
§ 3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты |
|
вектора................................................................................................................... |
22 |
§ 4. Теоремы о проекциях вектора...................................................................... |
24 |
§ 5. Скалярное произведение и его свойства..................................................... |
27 |
§ 6. Векторное произведение и его свойства..................................................... |
30 |
§ 7. Смешанное произведение трёх векторов и его свойства.......................... |
33 |
§ 8. Двойное векторное произведение ............................................................... |
35 |
Глава III. Элементы аналитической геометрии ........................ |
38 |
§ 1. Плоскость в трёхмерном пространстве....................................................... |
38 |
§ 2. Прямая линия в пространстве...................................................................... |
43 |
§ 3. Кривые второго порядка............................................................................... |
52 |
§ 4. Общее уравнение кривой второго порядка ............................................... |
57 |
§ 5. Уравнение линии на плоскости и в пространстве ..................................... |
61 |
§ 6. Поверхности второго порядка ..................................................................... |
66 |
§ 7. Поверхности вращения................................................................................. |
72 |
3
Глава IV. Матрицы и системы линейных алгебраических |
|
|
уравнений........................................................................................... |
74 |
|
§ 1. |
Матрицы. Основные понятия....................................................................... |
74 |
§ 2. |
Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Теорема о |
|
базисном миноре .................................................................................................. |
82 |
|
§ 3. |
Исследование систем линейных алгебраических уравнений................... |
86 |
§ 4. |
Однородные системы линейных алгебраических уравнений................... |
95 |
§ 5. |
Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений............... |
99 |
§ 6. |
Альтернатива Фредгольма для линейных систем..................................... |
103 |
§ 7 |
Неравенство первой степени с двумя и тремя переменными.................. |
106 |
Глава V. Линейные пространства и операторы............................. |
109 |
|
§ 1. |
Линейное пространство. Базис. Размерность. Подпространство............ |
109 |
§ 2. |
Евклидово пространство Ε n ........................................................................ |
113 |
§ 3. |
Линейные операторы и действия над ними. Матрица линейного |
|
оператора.............................................................................................................. |
119 |
|
§ 4. |
Замена базиса................................................................................................ |
123 |
§ 5 |
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к |
|
новому базису...................................................................................................... |
125 |
|
§ 6 |
Сопряженный и самосопряженный оператор........................................... |
126 |
§ 7 |
Собственные векторы и собственные значения линейного |
|
оператора.............................................................................................................. |
127 |
|
§ 8 |
Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.............. |
131 |
§ 9 |
Геометрические приложения теории квадратичных форм в |
|
пространствах Ρ 2 и Ρ .......................................................................................... |
133 |
|
Литература....................................................................................... |
138 |
|
4
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако, впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.
§ 1. Определители второго порядка
Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными x1 и x 2
a11x1 +a12x 2 |
=b1 |
|
, |
(1) |
|
|
|
|
|
a 21x1 +a 22x 2 =b2 |
|
|
||
где a ij (i =1, 2; j =1, 2) - числовые коэффициенты системы (1). |
|
|||
Таблица, составленная из коэффициентов этой системы |
|
|||
a11 |
a12 |
, |
|
(2) |
A = |
|
|
|
|
a 21 |
a 22 |
|
|
|
называется матрицей коэффициентов системы (1).
Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы A , которое обозначается detA и вычисляется по правилу detA =a11a 22 −a12a 21 , т.е. определитель второго порядка равен разности
произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы A . Определитель матрицы A обозначают так
detA = |
a11 |
a12 |
=a11a 22 −a12a 21 . |
(3) |
|
a 21 |
a 22 |
|
|
Найдём решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что detA ≠ 0 ):
x1 = |
b1a 22 |
−a12b2 |
; |
x 2 = |
a11b2 |
−b1a 21 |
. |
(4) |
a11a 22 |
|
a11a 22 |
|
|||||
|
−a12a 21 |
|
−a12a 21 |
|
||||
Мы видим, что в знаменателе выражений для x1 и x 2 стоит определитель
detA , в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через x1 и x1 соответственно, т.е.
x1 |
= |
b1 |
a12 |
, |
x2 |
= |
a11 |
b1 |
. |
|
|
b2 |
a 21 |
|
|
|
a 21 |
b2 |
|
5
Нетрудно заметить, что определитель x1 получается из определителя
, если в нём заменить столбец коэффициентов при x1 (первый столбец) столбцом из свободных членов, а определитель x2 - если второй столбец
определителя заменить столбцом из свободных членов. |
Тогда решение |
|||||||
системы (4) можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
||
x1 = |
x1 |
, |
x 2 = |
x |
2 |
( |
≠ 0 ). |
(5) |
|
|
|
|
|||||
Эти формулы называются формулами Крамера. Итак, для того, чтобы найти решение линейной алгебраической системы второго порядка достаточно подсчитать три определителя , x1 , x2 и составить их отношение.
Пример 1. Найти по формулам Крамера решение линейной алгебраической системы
2x −y =1 x +y = 2 .
Решение. Вычислим определители |
, |
x1 |
, |
|
x2 |
: |
||||||||
= |
|
2 |
−1 |
|
= 2 1 −(−1) 1 = 2 +1 = 3, |
x1 = |
|
|
1 |
−1 |
|
=1 1 −(−1) 2 =1+ 2 = 3, |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
21
x2 = 1 2 = 2 2 −1 1 = 4 −1 = 3,
По формулам Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
x1 = |
x1 |
= |
3 |
=1, |
x 2 = |
x2 |
=1. |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Итак, x1 =1, x 2 =1.
Основные свойства определителей второго порядка
1.Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.
a11 |
a12 |
= |
a11 |
a 21 |
a 21 |
a 22 |
|
a12 |
a 22 |
2.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.
a11 |
a12 |
= − |
a 21 |
a 22 |
a 21 |
a 22 |
|
a11 |
a12 |
6
3.Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. , например,
a11 |
K a12 |
=K |
a11 |
a12 |
a 21 |
K a 22 |
|
a 21 |
a 22 |
4.Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.
a11 |
a12 |
= 0 |
a11 |
a12 |
|
5.Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например,
a11 |
a12 |
= 0 |
0 |
0 |
|
6.Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится, т.е. например
|
a11 |
+ka12 |
a12 |
|
= |
|
a11 |
a12 |
|
|
|
||||||
|
a 21 |
+ka 22 |
a 22 |
|
|
|
a 21 |
a 22 |
Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.
Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:
|
a11 |
+ka12 |
a12 |
|
= (a11 +ka12 )a 22 −(a 21 +ka 22 )a12 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
a 21 |
+ka 22 |
a 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=a a |
22 |
−ka a |
22 |
−a a |
12 |
−ka a |
12 |
=a a |
22 |
−a a |
12 |
= |
|
a11 |
a12 |
|
. |
||||
|
|
||||||||||||||||||||
11 |
|
12 |
21 |
22 |
11 |
21 |
|
|
a 21 |
a 22 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 2. Определители третьего порядка.
Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка
a11 |
a12 |
a13 |
|
(1) |
|
a 22 |
|
|
|
A = a 21 |
a 23 . |
|
||
|
a 32 |
|
|
|
a 31 |
a 33 |
|
||
Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то ос-
тавшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введём несколько новых понятий.
7
Определение 1. Минором элемента a ij матрицы третьего порядка
называют определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы вычёркиванием i -ой строки и j -го столбца, т.е. строки и
столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента a ij обозначается символом M ij . Например, минором элемента a12 матрицы (1) является определитель
M 12 |
= |
a 21 |
a 23 |
. |
(2) |
|
|
a 31 |
a 33 |
|
|
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента a ij |
мат- |
||||
рицы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на (−1)i +j .
Иначе: алгебраическое дополнение элемента a ij - это минор, если сумма индексов i + j чётная, и минор, взятый с противоположным знаком, если сумма индексов i + j нечётная. Алгебраическое дополнение элемента a ij обозначается Aij , т.е. по определению Aij =(−1)i +j M ij .
Пример 1. Вычислить алгебраические дополнения A12 |
и A31 матрицы |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
−1 |
|
|||||
|
|
|
A = 0 |
2 |
1 |
. |
|
||||||
Имеем |
|
|
|
|
−3 |
−1 |
0 |
|
|
||||
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
3 −1 |
|
|
|
|
A12 |
= (−1)3 |
|
|
= −3 ; |
A31 = (−1)4 |
|
|
|
= 5 . |
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
−3 0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
Замечание. Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.
Определение 3. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Т.е. по определению имеем
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
detA = |
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
|
=a A |
+a A |
+a A |
13 |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
11 11 |
12 12 |
13 |
|
|
||||
|
|
|
a 32 |
a 33 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8
Пример 2. Вычислить определитель матрицы
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 0 |
|
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
detA = |
|
1 |
3 |
−1 |
|
2 |
1 |
|
0 |
1 |
|
+(−1) |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
2 |
1 |
=1 |
−3 |
|
|
= |
|||||||||
|
|
−3 |
−1 |
0 |
|
−1 |
0 |
|
−3 |
0 |
|
|
|
|
−3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=1 (0 +1) −3 (0 +3) −1 (0 + 6) =1−9 −6 = −14.
Замечание. Если в формулу (3) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
det(A ) = |
a 21 |
a 22 |
a 23 |
|
=a11a 22a 33 +a 21a 32a13 |
+a 31a12a13 |
− |
|
a 31 |
a 32 |
a 33 |
|
|
|
(4) |
|
|
−a 31a 22a13 −a11a 32a 23 −a 21a12a 33 . |
|||||
|
|
||||||
В этой формуле шесть слагаемых, причём каждое из них является произведением трёх элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком «+», а три со знаком «-». В курсах высшей алгебры формула (4) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.
§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.
Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.
1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.
|
|
a12 |
a13 |
|
a11 |
a 21 |
a 31 |
|
|
|
|
a11 |
|
||||||||
= |
a 21 |
a 22 |
a 23 |
= |
a12 |
a 22 |
a 32 |
. |
(1) |
|
|
a 31 |
a 32 |
a 33 |
|
a13 |
a 23 |
a 33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.
2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
9