itmo114

Нетрудно показать, что если векторы a1 , a2 , …,an линейно зависимы, то

хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных и наоборот; кроме того, если векторы a1 , a2 , …,an линейно неза-

висимы, то ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных и наоборот.

Определениеr r r 2. Любая совокупность n линейно независимых векторов e1 , e 2 ,…,e n линейного пространства Λ называется базисом этого пространства, если всякий вектор x Λ можно представить в виде линейной комбинации векторов e1 , e2 ,…, en rт.е. x =x1e1 +x 2e2 + ... +xn en .

Такое представление вектора x называется разложением его по данному базису. Числа x1 , x 2 ,…,xn , которые являются коэффициентами в разложе-

нии вектора по данному базису, называются координатами вектора в этом базисе и записываются так: x =(x1,x 2 ,...,xn ) или так [x1,x 2 ,...,xn ], или в ви-

де матрицы-столбца:

Теорема. Координаты вектора x Λ относительно некоторого базиса e1 , e2 ,…, en этого линейного пространства определяются единственным об-

чит, что коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями,

значит x1 =x1′, x 2 =x 2′, …, xn =xn ′. Теорема доказана.

В качестве примера рассмотрим пространство многочленов Pn (x ) степени ≤n . В качестве базиса можно взять одночлены 1, x , x 2 ,..., x n . Действительно, они линейно независимы, и любой многочлен Pn (x ) можно представить в виде:

Pn (x ) =a 0 +a1x +a 2x 2 + ... +an x n .

111

В силу определения коэффициенты a 0 , a1 , …,an являются координата-

Можно доказать, что если линейное пространство Λ имеет базис, то он не единственный. Однако же различные базисы данного линейного пространства состоят из одного и того же числа n векторов, которое и определяет размерность линейного пространства.

Определение 3. Говорят, что линейное пространство имеет размерность равную n , если n - если число базисных векторов, пространство при этом обозначают Λ n.

новить взаимно однозначное соответствие, точно так же как и между произ-

Такое свойство линейных пространств называется изоморфизмом, а сами линейные пространства называются изоморфными.

Введённое ранее линейное пространство с базисом i , j, k - пространст-

во обычных векторов – обозначают 3 и называют его геометрическим пространством, или координатным пространством. Понятие геометри-

ческого (координатного) пространства можно обобщить в смысле увеличения его размерности, т.е. можно рассматривать геометрическое

(координатное) пространство n .

В заключение заметим, что если базис состоит из конечного числа элементов, то такое линейное пространство называется конечномерным, если же существует бесконечно много линейно независимых векторов, то такое линейное пространство называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства может служить пространство всевозможных функций, непрерывных на данном промежутке, линейные операции в котором определяются обычным образом.

4. Подпространство линейного пространства.

112

Определение. Подпространством Λ1 линейного пространства Λn называется множество элементов из Λn, которое само является пространством,

т.е. из x Λ1, y Λ1 => αx + βy Λ1.

Свойства подпространства линейного пространства Λn

1.Размерность любого подпространства пространства Λn не превосходит n . Очевидно, что само линейное пространство Λn является пространством наибольшей размерности,

2.Если Λm - подпространство линейного пространства Λn (m<n), то любой базис этого подпространства e1,e2 ,...,em можно дополнить векторами

em +1 , em +2 , …, en таким образом, что совокупность векторов e1,e2 ,...,em , em +1,...,en будет являться базисом линейного пространства Λn.

Линейное подпространство, имеющее своим базисом совокупность векторов e1,e2 ,...,em , иногда называют линейной оболочкой, натянутой на эти

векторы.

§2 Евклидово пространство Εn

1. Определение евклидова пространства

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если в нём определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам x и y из этого пространства число, называемое

скалярным произведением векторов x и y и обозначаемое (x,y) , для которого выполнены условия:

1.(x,y) = (y,x) ;

2.(x + y,z) = (x,z) +(y,z) , где z - любой вектор, принадлежащий данному

линейному пространству;

3.(αx,y) =α(x,y) , где α - любое число;

4.(x,x) ≥ 0 , причём (x,x) = 0 Ù x = 0 .

Например, в линейном пространстве одностолбцовых матриц скалярное произведение векторов

можно определить формулой

113

Дискриминант этого квадратного трёхчлена не может быть положительным, т.е. (x,y)2 −(x,x) (y,y) ≤ 0 , откуда вытекает:

(x,y)2 ≤(x,x) (y,y) => (x,y) ≤ x y .

Неравенство доказано.

3. Неравенство треугольника

Доказательство. Очевидно, что (x + y,x + y) = x + y 2 .

С другой стороны, (x + y,x + y) = (x,x) + 2(x,y) +(y,y) = x 2 + 2(x,y) + y 2 .

Принимая во внимание неравенство Коши-Буняковского, получим x + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y )2 => x + y ≤ x + y .

Неравенство треугольника доказано.

4. Норма евклидова пространства

Определение 1. Линейное пространство Λ называется метрическим, если любым двум элементам этого пространства x и y поставлено в со-

ответствие неотрицательное число ρ(x,y) , называемое расстоянием между x и y , (ρ(x,y) ≥ 0) , причём выполняются условия (аксиомы):

1)ρ(x,y) = 0 Ù x = y

2)ρ(x,y) = ρ(y,x) (симметрия);

3) для любых трёх векторов x , y и z этого пространства

ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(z,y).

Замечание. Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Очевидно, что евклидово пространство Εn – метрическое, причём в качестве расстояния между векторами x Εn и y Εn можно взять x − y .

Так, например, в пространстве одностолбцовых матриц, где

получим

115

Пример. В геометрическом (координатном) пространстве Ρ3, которое является частным случаем евклидова пространства, орты i , j и k взаимно

ортогональны.

6. Ортонормированный базис

Определение 1. Базис e1,e2 ,...,en евклидова пространства Εn называется ортогональным, если векторы этого базиса попарно ортогональны,

Теорема. (о построении ортонормированного базиса)

Во всяком евклидовом пространстве Εn существуют ортонормированные базисы.

Доказательство. Докажем теорему для случая n = 3 .

Пусть E1,E2 ,E3 - некоторый произвольный базис евклидова пространства

ми e1 и e2 , т.е.

Учитывая, что (e1,e2 ) = 0 , получим

117

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x Λ ставит в соответствие вектор y Λ, то говорят, что в линейном пространстве Λ задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x1 Λ и x2 Λ и произвольного числа α выполняются условия:

1)A (x1 + x2 ) =A x1 +A x2 ,

2)A (αx) =αA x .

+x n (a n 1x 1 + a n 2x 2 + ... + a n n ) en .

Всилу единственности разложения по данному базису мы можем при-

равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (3) и (5); тогда получим:

y1 =a11x1 +a12x 2 + ... +a1n xn ,

119