itmo114

α= −2 .

§6. Векторное произведение и его свойства

1.Определение векторного произведения

Определение. Векторным произведением a ×b ненулевых векто-

ров a и b называется такой вектор c , который удовлетворяет трём условиям:

1. c = a b sin(a,b), т.е. длина вектора c = a ×b численно равна площади параллелограммаr , построенного на этих векторах.

2.Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и

b .

3.Тройка a , b , c - правая (рис. 2.6.1)

Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то по определению a ×b = 0 . Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов a и b обозначается символом [a;b].

c

b

a

Рис. 2.6.1

Свойства векторного произведения

1. a ×b = −b ×a .

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

30

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы a =ax i +ay j +a z k и b =bx i +by j +bz k

a ×b =(ax i +ay j +a z k) ×(bx i +by j +bz k) =a xbx i ×i +a zbx j×i +a zbx k ×i +

+axby i × j +ayby j× j +a zby k × j +axbz i ×k +aybz j×k +a zbz k ×k =

4. Механический смысл векторного произведения

Если сила F поворачивает тело вокруг оси l , то момент M силы F , как известно, равен M = r ×F (рис. 2.6.2).

Пример 1.

1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

32

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, по-

§ 7. Смешанное произведение трёх векторов

Определение смешанного произведения

Определение. Смешанным произведением ненулевых векторов a , b , c называется скалярное произведение вектора a и векторного произведения вектора b на вектор c , т.е. выражение a (b ×c) .

Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов

Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы a , b и c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a , b и c компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор b ×c окажется перпендикулярным вектору a , следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. a (b ×c) = 0 .

Достаточность. Пусть a (b ×c) = 0 . Так как векторы ненулевые, то может

быть:

1) b ×c = 0 , тогда b = λc , следовательно, векторы a , b и c можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) b ×c ≠ 0 , но a (b ×c) = 0 => a (b ×c) . Это значит, что вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Предположим, что векторы a , b и c некомпланарны. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах b и c (рис. 2.7.1).

1) Пусть a , b , c - правая тройка. Тогда угол между векторами a и b ×c острый, т.е. векторы a и (b ×c ) лежат в одном полупространстве.

33

§ 8. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов a ≠ 0 , b ≠ 0 и c ≠ 0 называется a ×(b ×c) ; если хотя бы один из

def

векторов a , b или c равен нулю, то a ×(b ×c) = 0 .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа a ×(b ×c) часто

встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е. a =a x i +a y j +a z k , b =bx i +by j +bz k , c =cx i +cy j +cz k .

Вычислим a ×(b ×c) .

Обозначим v =b ×c , u =a ×(b ×c) = a × v .

Очевидно, что нас интересует вектор v . Известно, что вектор v = b ×c выражается через координаты векторов b и c так:

то есть

vx =bycz −bzcy , vy =bzcx −bxcz , vz =bxcy −bycx .

В свою очередь, аналогично

35

uuuur uuuur uuuur

A B (2,1,2), A C (3,-1,1), A D (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

4 2 4

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы a = i + j + 2k , b =3i + 4j +k и c = i + 2j −3k линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

cледовательно, векторы a , b и c компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы λ , μ и ν такие, что λ a + μ b +ν c =0, т.е.

λ ( i + j+ 2k )+ μ (3 i + 4 j +k ) + ν (i +2 j-3k )=0 , откуда следует: ( λ + 3 μ +

Здесь ν выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим λ = 2ν , μ = −ν в указанную выше

линейную комбинацию: 2νa −νb +νc = 0 . Сократим на ν ≠ 0 . Получим искомую линейную зависимость 2a −b +c = 0 .

37

ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом

рассматривает уравнения этих объектов в координатном пространстве 3

(или 2 ), т.е. в некоторой трехмерной декартовой системе координат Oxyz (или Oxy). Причем, под уравнениями геометрических объектов (прямой линии, плоскости, конуса, гиперболы, окружности и т.п.) мы будем понимать всякое уравнение, устанавливающее связь между координатами (x ,y ,z ) всех

точек, принадлежащих данному геометрическому объекту.

Итак, аналитическая геометрия изучает геометрические объекты и их свойства аналитически, т.е. путем анализа их уравнений.

§ 1. Плоскость в трехмерном пространстве

Положение плоскости в пространстве можно задать различными способами. Действительно, через три данные точки М1, М2 и М3 проходит единственная плоскость, через данную точку М0(x0, y0, z0) перпендикулярно данному вектору n (А,В,С) можно провести единственную плоскость и т.п.

1. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим некоторую плоскость P и точку М(x, y, z) на этой плоскости, так называемую текущую точку плоскости. Пусть кроме этого определен вектор n (А,В,С) - нормаль к плоскости и некоторая точка М0(x0, y0, z0) - фиксированная точка на этой плоскости. Обозначим через r0 и r - радиус

векторы точек М0 и М1 (рис. 3.1.1).

x

Рис. 3.1.1

uuuuuuur

Очевидно, что вектор M 0M = r −r0 лежит в плоскости. Ясно также, что uuuuuuur

векторы M 0M и n перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

38