itmo114

Решение. Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A этой системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы A , совершая линейные преобразования над строчками

Очевидно, что r gA = 2 , т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных и значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:

Полагая x 3 =c (c -любое действительное число) получим общее решение

Решение. Обозначим через A и A r соответственно основную и расширенную матрицы системы

100

Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для

этого приведём расширенную матрицу A r и трапециевидной форме, совершая элементарные преобразования над строками

При этом матрица A перейдёт в A% . Очевидно, что r gA =rgA r = 3 , т.е.

ранги матриц A и A r совпадают и меньше числа неизвестных. Значит система совместна и имеет бесчисленное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какоголибо частного решения неоднородной.

Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную

−4x3 −3x 4 − 3x5 = 0

Пример 2.. Найти фундаментальную систему решений и общее решение данной однородной системы

x1 + 2x 2 + x3 −x 4 = 0 . 2x1 + x 2 −3x3 +x 4 = 0

Решение. Вычислим ранг матрицы A этой системы, приведя её к трапециевидной форме

x3 =1, x 4 = 0, а потом x3 = 0, x 4 =1. Для первого случая будем иметь

x1 + 2x 2 = −1 , 3x 2 = −5

решая которую, находим x 2 = −5/ 3, x1 = 7 / 3. Т.е..

101

Итак, фундаментальная система решений имеет вид

X 1 = (7 / 3 −5/ 3 1 0)T , X 2 =(−1 1 0 1)T .

Общее решение X получаем, составляя линейную комбинацию фундаментальной системы:

X =c1 X 1 +c 2 X 2 .

Т.е. общее решение имеет вид

или в координатной форме

За базисный минор возьмём минор, стоящий в левом углу матрицы A% , т.е. минор, составленный из коэффициентов перед неизвестными x1 , x 2 и

x3 . Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных x 4 и x5 также, что в каждом наборе одна

переменная равна 1, а остальные 0. Взяв x 4 =1, x5 = 0 из системы

получим x3 = −3/ 4, x 2 = −2, x1 = −1/ 4 .

102

В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:

A X =B и AT Y = 0 ,

т.е. матрица коэффициентов в системе (2) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (1).

Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива – это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter - другой, один из двух).

Альтернативы Фредгольма. Для всяких систем A X =B и

AT Y = 0 справедливо одно из двух утверждений:

1. Система A X =B имеет решение при любом B тогда и только то-

гда, когда система AT Y = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решение

Y = 0 .

2. Система A X =B при некотором B несовместна и тогда система AT Y = 0 имеет нетривиальное (ненулевое) решение.

Доказательство.

1. Пусть система (1), т.е. A X =B , имеет решение при любом B (любом наборе b1,...,bm ). В этом случае rgA =m , так как иначе при некотором B

rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT =rgA , то в этих условиях rgAT =m , то есть равен числу неизвестных в системе

(2)и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.

2.Пусть теперь система A X =B при некотором B несовместна. Следо-

вательно rgA <m , значит и rgAT <m , т.е. ранг матрицы системы (2)

меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.

Замечание. Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.

104

Пример 4. Какая из альтернатив имеет место для системы

2x1 + 2x 2 + 2x3 =b2

Решение. Так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то rgA =1. При b1 =1 и b2 = 0 ранг расширенной матрицы будет равен

2, т.е. система несовместна. Имеет место вторая альтернатива.

§ 7. Неравенства первой степени с двумя и тремя переменными. Системы неравенств

1. Линейное неравенство первой степени с двумя переменными

(рис.4.7.1). Очевидно, что векторы M 0M и S коллинеарны, следовательно,

их координаты пропорциональны, т.е.

x m−x 0 = y −ny 0 .

Очевидно, что это есть ни что иное, как каноническое уравнение пря-

A x +B y +C = 0 .

Напомним, что уравнение прямой, записанное в таком виде, называется общим уравнением прямой l . Введём в рассмотрение вектор N(A ,B ). Оче-

Напомним, что решением любого неравенства с двумя переменными f (x ,y ) > 0 называется упорядоченная пара чисел (x ,y ) , удовлетворяющая

этому неравенству; решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Установим геометрический смысл неравенства (1). Для этого рас-

106

Замечание: Нестрогое неравенство x −y + 2 ≥ 0 имеет решение, состоящее из множества точек, лежащих правее и ниже прямой l , к которому следует добавить точки, лежащие на прямой l (рис.4.7.4).

2. Система линейных неравенств первой степени с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему неравенств:

Решением такой системы неравенств называется множество упорядоченных пар чисел (x ,y ) , удовлетворяющих каждому из неравенств системы

(2). Очевидно, что геометрически множество решений системы (2) состоит из всех точек плоскости xO y , координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы.

Пример 2. Построить множество решений системы:

x − y + 2 ≥ 0 x + y − 6 ≤ 0

x + 2y − 7 ≥ 0

y ≥ 2

Решение. Строим прямые x −y + 2 = 0, x +y −6 = 0 , x + 2y −7 = 0 , y = 2 . Множеством решений каждого неравенства системы является одна из

полуплоскостей, на которые разбивает плоскость соответствующая прямая. Множеством решений системы является их общая часть, представляющая собою четырёхугольник A B C D , изображенный на рис.4.7.5. При этом точки, лежащие на сторонах четырехугольника, в это множество включаются.

108