itmo114

Уравнение прямой l , лежащей в плоскости, записанное в виде (9), назы-

вается общим уравнением прямой на плоскости. Заметим, что это уравне-

ние линейно относительно переменных x и y . Можно доказать и обратное, т.е. что всякому уравнению вида (3) на плоскости соответствует некоторая прямая.

Разрешим теперь уравнение (9) относительно y :

y =kx +b .

Уравнение прямой, записанное в виде (10), называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Нетрудно выяснить значение параметров k и b . Пусть k > 0 и b > 0 . Тогда при x = 0 из (10) получаем y =b , т.е. b -

есть ордината точки пересечения с осью Oy (рис. 11). С другой стороны, из

A B C ясно, что tgϕ = AB CC =k , т.е. k -есть тангенс угла, образуемого

прямой с осью Ox, который называется угловым коэффициентом этой прямой. Поэтому уравнение прямой в виде (10) называется уравнением прямой

сугловым коэффициентом.

Вчастности, если две прямые заданы своими уравнениями с угловым коэффициентом l1 : y =k1x +b1 , l2 : y =k2x +b2 , то нетрудно найти угол ме-

жду этими прямыми (рис. 3.2.11).

раллельны, то k1 =k2 , а если они перпендикулярны, то k1 k2 = −1.

Пример. Через точку M 0 (1,3) провести прямую под углом 45° к данной прямой x − 2y = 0 .

50

называется «прямой в n - мерном пространстве», а сами уравнения на-

зываются каноническими уравнениями этой «прямой», причём вектор

S =(m 1,m 2 ,...,m n ) n - мерного пространства называется направляющим вектором этой прямой, а точка M 0 (x10 ,x 20 ,...,xn 0 ) - фиксированной точкой на этой прямой.

§3. Кривые второго порядка

1. Эллипс и его свойства

Определение. Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a , a > 0 ).

Принимая во внимание определение эллипса, выведем его уравнение. Если определённым образом выбрать систему координат, то можно получить простейшую форму уравнения эллипса, которая называется канониче-

ским уравнением (рис.3.3.1). Итак, проведём ось Ox через фокусы от фокуса F1 к фокусу F2 .

Рис. 3.3.1

Начало координат возьмём в середине отрезка F1F2 . Если расстояние между фокусами обозначить через 2c (c > 0) , то очевидно, что фокусы имеют координаты F1(−c ,0) , F2 (c ,0) .

Ось Oy направим так, чтобы система xOy была бы правой. Пусть точка M (x ,y ) принадлежит эллипсу, векторы r1 и r2 называются её фокальными

радиус-векторами.

В силу определения эллипса r1 + r2 = 2a (a > 0 , a >c ). Отсюда следует:

(x +c )2 +y 2 + (x −c )2 +y 2 = 2a => (x +c )2 +y 2 = 2a − (x −c )2 +y 2

52

Проведём ось Ox через фокусы, выбрав начало координат в середине отрезка, соединяющего фокусы, длина которого равна 2c (рис.3.3.2). Фокусы имеют координаты F1(−c ,0) , F2 (c ,0) . Ось Oy направим так, чтобы система

xOy была бы правой. Проведя фокальные радиус – векторы r1 и r2 в некоторую точку M (x ,y ) , в силу определения можем написать: r1 − r2 = 2a .

После преобразований, аналогичных выполняемым в п. 1, обозначив c 2 −a 2 =b 2 , получим каноническое уравнение гиперболы

Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат, состоит из двух веток, которые пересекаются с осью Ox в точках A1(−a ,0) и A 2 (a ,0) , которые называются вершинами гиперболы. Отрезок A1A 2 , длина которого равна 2a , называется его вещественной осью, в то

же время параметр a называется вещественной полуосью гиперболы. Точки B1(0,b) и B 2 (0,−b) называются мнимыми вершинами гипербо-

лы, отрезок B1B 2 , длина которого равна 2b , называется мнимой осью гиперболы, а параметр b - его мнимой полуосью. Форму гиперболы характе-

ризует эксцентриситет ε = ac . Ясно, что ε >1, причём если эксцентриси-

тет близок к единице, то ветви гиперболы сильно прижаты к оси Ox. Гипербола имеет асимптоты, к которым её ветви приближаются при

удалении от начала координат. Асимптоты гиперболы имеют уравнения

3. Парабола и её свойства

Определение. Параболой называется множество точек на плоскости, равноудалённых от данной прямой, называемой директрисой параболы и от данной точки, называемой фокусом.

Каноническое уравнение параболы мы получим, выбрав систему координат xOy таким образом: проведём ось Ox перпендикулярно директрисе через фокус, направив её от директрисы к фокусу. Расстояние от директрисы до фокуса F обозначим через p и назовём его параметром парабо-

лы. Начало координат возьмём в середине отрезка, соединяющего фокус с директрисой, и направим ось Oy так, чтобы система координатных осей xOy была бы правая (рис. 3.3.3). Опустим из точки M (x ,y ) на параболе перпендикуляр на директрису. Пусть N - его основание. Ясно, что

54

Пример 2. Найти сторону квадрата, вписанного в данный эллипс

x 2 + y 2 =1. (рис. 3.3.6) 42 32

Решение. В силу симметрии эллипса вершины квадрата, вписанного в эллипс, имеют координаты:M 1(m ,m ) ,M 2 (−m ,m ) ,M 3 (−m ,m ) , M 4 (m ,−m ) , (m > 0) . Искомая длина стороны квадрата d = 2m . Координа-

ты точки M 1 удовлетворяют уравнению эллипса, потому имеем

m422 + m322 =1 => 32m 2 + 42m 2 = 32 92 => m = 2,4 .

Итак, длина стороны квадрата d = 4,8 .

Пример 3. Найти уравнение траектории точки, которая, перемещаясь по плоскости xOy, остаётся в два раза дальше от точки A (4,0) , чем от пря-

Пример 4. Найти уравнение траектории точки, которая, перемещаясь по плоскости xOy, равноудалена от точки A (2,1) и от оси ординат. (рис.3.3.8)

56

(x − 2)2 +(y −1)2 = x => (x − 2)2 +(y −1)2 =x 2 => y 2 − 2y +1 = 4x − 4 => y 2 − 2y +1 = 4x − 4 => (y −1)2 = 4(x −1).

Обозначим x −1 =X , y −1 =Y , тогда относительно системы координат X O1Y имеем параболу .Y 2 = 4X (рис.3.3.8)

§4. Общее уравнение кривой второго порядка

Рассмотренные выше кривые 2-го порядка имеют канонические уравнения только относительно системы координат, специальным образом связанной с этой кривой. Относительно произвольно расположенной системы координат каждой из этих кривых соответствует некоторое уравнение второго порядка вида

a11x 2 + 2a12xy +a12y 2 + 2b1x + 2b2y +c = 0 ,

которое называется общим уравнением кривой второго порядка. При каж-

дом конкретном наборе коэффициентов это уравнение является либо уравнением эллипса (окружности), либо гиперболы, либо параболы. Заметим, что этому уравнению может и не соответствовать никакая кривая 2-го порядка (вырожденный случай), но если этому уравнению соответствует ка- кая-нибудь кривая, то это непременно какая-нибудь из перечисленных кривых второго порядка: эллипс, гипербола или парабола.

1.Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей

Пусть оси O1X и O1Y координатной системы O1X Y параллельны осям O x и O y исходной системы координат Oxy. Допустим, что точка M в исходной системе координат имеет координаты x и y , т.е. M (x ,y ) ; относительно же системы O1X Y та же точка имеет координаты X и Y , т.е. M (x ,y ) и M (X ,Y ) . Установим связь между старыми координатами (x ,y )

Эти формулы являются формулами преобразования координат при параллельном переносе координатных осей.

57