itmo114

Итак, решение данной системы: x =1, y = 0, z =1.

3. Метод Гаусса2

Отметим, что формулы Крамера (так же как и решение систем в матричном виде) имеют ограниченное применение, потому, что уже для систем выше 4-го порядка приводят к громоздким вычислениям.

Кроме того, формулы Крамера применимы, если число уравнений совпадает с числом неизвестных и при этом определитель системы ≠ 0 .

Для исследования систем m алгебраических уравнений с n неизвестными в последнее время, особенно в связи с развитием вычислительной техники широкое применение получил метод Гаусса.

Итак, рассмотрим систему m алгебраических уравнений с n неизвестными, причём a11 ≠ 0 .

этого достаточно переставить уравнения таким образом, чтобы в первом уравнении при первой неизвестной коэффициент был бы отличен от нуля, в противном случае система не содержала бы переменной x1 . Оставляя теперь

неизменным первое уравнение, преобразуем остальные уравнения таким образом, чтобы коэффициенты при неизвестной x1 обратились бы в нуль

(для этого достаточно ко второму уравнению прибавить первое уравнение,

и т.д., к m -му уравнению прибавить первое, умноженное на −a m 1 ).

a11

В результате получим систему, эквивалентную системе (1), в виде:

* Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик.

91

Потребуем, чтобы в системе (2) был бы отличен от нуля коэффициент a 22′, чего можно опять-таки добиться с помощью перестановки уравнений.

Если же после первого шага во всех уравнениях, кроме первого, коэффициенты обратятся в нуль, то приступают к следующему шагу, а именно: повторяя алгоритм Гаусса, аннулируем далее коэффициенты при x 2 во всех

уравнениях, начиная с 3-го. Причём, после какого-то шага число уравнений может уменьшаться (это имеет место, если какие-то уравнения являются линейными комбинациями других уравнений, т.е. не являются независимыми).

После последнего шага мы можем придти к таким ситуациям:

1) Число неизвестных совпадает с числом уравнений, и матрица системы

найденное x n в предыдущее уравнение, найти xn −1 и идти далее восходящим ходом к первому уравнению, находя шаг за шагом xn −2 ,xn −3 ,...,x 2 ,x1 . Очевидно, что в этом случае ранг матрицы

т.е. r (A ) =r (Ap ) =n .

Действительно, матрица системы (3) получена с помощью элементарных преобразований над строчками исходной матрицы. В этом случае система имеет единственное решение.

2) Число неизвестных меньше числа уравнений, т.е. система имеет вид:

92

Вернёмся теперь обратно к системе, записанной в привычном виде:

x − y +z = 2 3y −z = −1 .

−z = −1

Теперь следует применить восходящий ход алгоритма Гаусса и выписать решение: −z = −1 => z =1, подставим z =1 во второе уравнение, тогда получим y = 0 ; и, наконец, подставим y = 0 и z =1 в первое уравнение, по-

лучим x = 0 −1+ 2 =1. В результате имеем решение данной системы: x =1,y = 0,z =1.

Пример 4. Исследовать систему методом Гаусса

Вывод: система несовместима.

Из приведенных рассуждений с очевидностью вытекает теорема.

94

Определение. Совокупность решений X 1,X 2 ,...,X k однородной сис-

темы (1) называется фундаментальной системой решений, если

1)X 1,X 2 ,...,X k - линейно независимы,

2)любое решение системы X представимо в виде линейной комбинации

где E1 ,E2 ,...,Ek - фундаментальная система решений; c1 ,c 2 ,...,ck - произ-

вольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (1) называют общим решением однородной системы.

4. Теорема (о фундаментальной системе решений)

Если ранг r матрицы A однородной системы (1) меньше числа неизвестных n , то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n −r решений.

Доказательство. Доказательство этой теоремы даёт способ отыскания фундаментальной системы решений.

Рассмотрим матрицу A системы (1)

Как и прежде, не умоляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A . Тогда, по теореме о базисном миноре строки с номерами от r +1 до m представимы в виде линейных комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими r , нулевые. Следовательно, их можно отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исход-

Неизвестные x1 ,x 2 ,...,xr назовём базисными, а остальные n −r неиз-

вестных xr +1,xr +2 ,...,xn - свободными.

Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные значения, то из системы (3) базисные неизвестные можно найти единственным

образом, поскольку A * , матрица системы (3), квадратная и её элементы об-

разуют базисный минор (detA * ≠ 0).

Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:

В каждом i -ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на i -ом месте. Всего таких наборов n −r . Подставим поочерёдно эти наборы значений переменных xr +1,...,xn в систему (3),

Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (3), а значит и (1):

Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.

Проверим линейную независимость столбцов X 1, X 2 , ..., X n −r . Рассмотрим матрицу, составленную из столбцов X 1 , ..., X n −r

97

Минор порядка n −r , образованный последними n −r строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен n −r , и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что и означает линейную независимость решений X 1, X 2 ,..., X n −r .

3) Возьмём произвольное решение однородной системы (1)

x1 X = x 2M

xn

Рассмотрим одностолбцовую матрицуY :

(единственное) нулевое решение системы (3). Значит, Y = 0 . Подставив это значение в равенство (4), получим X =xr +1X 1 +xr +2X 2 + ... +xn X n −r , то есть

произвольное решение X однородной системы (1) является линейной комбинацией решений X 1, X 2 ,..., X n −r .

И так очевидно, что X 1 , X 2 ,..., X n −r образуют фундаментальную систе-

му решений.

Следствие. Однородная система (1), у которой число неизвестных n совпадает с числом уравнений m , имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы detA = 0 .

98