itmo114

а это и означает, что собственные векторы x1 и x2 ортогональны.

Замечание. Так как собственные векторы самосопряженного оператора A ортогональны, их можно принять за базис линейного пространства, в котором определён этот линейный оператор. Поделив далее каждый вектор на его длину, мы получаем ортонормированный базис.

Теорема 3. В базисе из единичных собственных векторов самосопряженного оператора матрица этого оператора диагональная, причём элементами диагонали являются её собственные числа.

Доказательство. Доказательство проведём для случая n = 3 . Пусть e1,e2 ,e3 - единичные векторы самосопряженного оператора A относитель-

но некоторого базиса линейного пространства Ε3, отвечающие собственным значениям λ1,λ2 ,λ3 этого линейного оператора, т.е. A e1 = λ1e1 , A e2 = λ2e2 , A e3 = λ3e3 . Примем векторы e1,e2 ,e3 за базис линейного пространства. Оче-

Выбор такого базиса, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид, называется приведением матрицы к диагональному виду.

§8. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

+annxn ,

130

Итак, матрица квадратичной формы относительно нового базиса равна T −1 A T . Нетрудно заметить, что она диагональная, причём на главной диагонали стоят собственные значения λ1,λ2 ,...,λn оператора A . Заметим

(это было показано раньше), что в качестве столбцов матрицы T следует взять координаты собственных векторов оператора A в исходном базисе.

Приведение квадратичной формы к виду, при котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид, называется приведением квадра-

тичной формы к каноническому виду.

§9. Геометрические приложения теории квадратичных форм в пространствах Ρ2 и Ρ3

Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка:

На первые три слагаемых можно смотреть как на квадратичную форму

Найдём характеристические числа этой матрицы λ1 и λ2 и соответствующие им единичные векторыX (10) и X (20) , которые примем за орты ново-

причём в качестве столбцов этой матрицы берутся координаты векторов E1 и E2 в исходном базисе i , j.

После такого преобразования квадратичная форма относительно базиса E1 , E2 имеет вид Φ(x ′,y ′) = λ1x ′2 + λ2y ′2 . Теперь остаётся преобразовать ли-

нейные члены уравнения (1). Для этого достаточно заменить в линейных слагаемых x и y по формулам

132

a11x 2 +a 22y 2 +a 33z 2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a 33y z + 2a1x + 2a 2y + 2a 3z +a 0 = 0 .

Суть метода совершенно аналогична изложенному. А именно: в начале рассматривается квадратичная форма

Φ(x ,y ,z ) =a11x 2 +a12xy +a13xz +a 21yx +a 22y 2 +a 23yz +a 31zx +a 32zy +a 33z 2

(aij =a ji , i , j =1,2,3) ,

которая приводится к каноническому виду. Затем, используя матрицу преобразования координат, следует преобразовать линейные члены, и на втором этапе осуществить параллельный перенос координатных осей.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности x 2 + 4xz + 6y 2 +z 2 = 0 .

Решение. Рассмотрим квадратичную форму Φ(x,y ,z ) =x2 +4xz +6y 2 +z 2 , Запишем её так:

Φ(x ,y ,z ) =1 x 2 + 0 xz + 2xz + 0 yx + 6y 2 + 0 yz +. 2 zx + 0 zy +1 z 2

Ясно, что матрица данной квадратичной формы

Найдём единичные собственные векторы матрицы A :γ(1) , γ(2) , γ(3) . Напомним, что γ называется собственным вектором матрицы A , если A γ = λγ => (A −λE ) γ = 0 . Для данной матрицы A имеем

Эта однородная система линейных алгебраических уравнений, записанная в матричном виде, имеет ненулевые решения, если её определитель равен нулю, т.е. должно быть

134

Ясно, что при таком преобразовании совершается поворот координатных осей вокруг оси Oy на угол α = π4 . Относительно новых координат Ox’y’z’

квадратичная форма Φ(x ′,y ′,z ′) = 3x ′2 + 6y ′2 −z ′2 .

Следовательно наша поверхность относительно новой системы координат имеет уравнение 3x ′2 +6y ′2 −z ′2 = 0 . Ясно, что это конус (рис.5.9.1), вытянутый вдоль оси Oz ′.

z

z ′

π

4

y ′

π

4

x

x′

Рис. 5.9.1

136

ЛИТЕРАТУРА

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

–М.: Наука, 1980

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –М.: Наука, 1980

3.Головина Л.И., Линейная алгебра и некоторые её приложения. –М.:

Наука, 1979

4.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. –М.: Наука, 1981

5.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1983

6.Крутицкая Н.И., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. -М.:Высшая школа, 1985

7.Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики, –М.: Высшая школа , 1986

8.Боревич З.И. Определители и матрицы. –М.: Наука, 1988

9.Стрент Г. Линейная алгебра и её применение. –М., Мир , 1985

10.Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и за-

дачах. –М.: Наука, 1980

11.Сборник задач по математике для ВТУЗов: Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича.

–М.: Наука, 1986

12.Клетенин Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии, –М.: Нау-

ка, 1984

13.Наумов В.А. Руководство к решению задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. –М.: Наука, 1993

14.Гусак А.А, Высшая математика. В двух томах. Том1. Минск, Тетра Системс, 1998

138

Вразное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И.Смирнов, член-корреспондент АН АН СССР Д.К.Фаддеев, проф. И.С.Соминский, проф. Ф.И.Харшиладзе, проф. А.Ф.Андреев, проф. Ю.В.Аленицын проф. И.А.Молотков.

В1979 году кафедру возглавил доктор технических наук, профессор В.Г.Дегтярёв, специалист по теории устойчивости и теории движения космических аппаратов.

C 1997 года кафедрой руководит доктор физико-математических наук, профессор И.Ю.Попов, в область научных интересов которого входят теория рассеяния, теория операторов, моделирование сложных физических систем.

Кафедра ВМ осуществляет обучение студентов всех специальностей университета по дисциплине «Высшая математика» и читает ряд специальных дисциплин математического цикла. Кафедра ВМ является самой большой кафедрой в университете по числу преподавателей. Среди её сотрудников 4 доктора и 16 кандидатов наук. Преподаватели кафедры активно участвуют как в фундаментальных исследованиях по математике и теоретической физике, так и в прикладных научно-технических исследованиях. Преподаватели кафедры принимают активное участие в работе российских и международных научных конференций, выступают с докладами и преподают за рубежом. За последние 5 лет сотрудниками кафедры опубликовано более 300 работ в отечественных и зарубежных научных изданиях.

Областью научных интересов профессора А.Г.Петрашеня является теория взаимодействия излучения с веществом, оптика и спектроскопия. Профессор В.П.Смирнов – специалист по теории твёрдого тела и теории групп в квантовой механике. Профессор В.Ю.Тертычный, член Нью-Йоркской академии и Соросовский профессор, занимается теорией оптимального управления механическими системами.

140