itmo114

Итак, линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора A ei (i =1,2,...,n ) относительно данного базиса.

Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e1,e2 ,...,en

пространства Λn.

Введём теперь в рассмотрение одностолбцовые матрицы

соответствующие векторам x Εn и y Εn . Тогда соотношения (6) в матричном виде можно записать так:

пространстве Εn соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e1 ,e2 ,...,en .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие

операторы, матрицы которых имеют обратную A−1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому

соотношением (1), отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство:

X= A−1 Y .

2.Примеры линейных операторов

ϕ

O e1

Рис.5.3.1

120

2. Умножение линейного оператора на число. Пусть x Εn , линейный оператор A определён в Εn , α - некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число α

называется оператор αA , определяемый равенством

(αA ) x =α(A x), x Εn.

Очевидно, что αA является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число α , т.е. она равна α A .

3. Умножение линейных операторов. Пусть x Εn, y Εn, z Εn и кроме

того в Εn определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) . Та-

ким образом, перемножение линейных операторов состоит в последова-

и обозначим через A , B и C - соответственно матрицы линейных операторов A , B и C. Тогда очевидно, что Z =A (B X ) = (A B ) X =C X , та-

ким образом, C = A B , т.е. матрица произведения линейных операторов также является линейным оператором.

Действительно,

a) (A B )(x + y) = A (B (x + y)) = A (Bx +By) = A (Bx) + A (By) = = (A B ) x + (A B ) y

б) (A B )(αx) = A (B (αx)) = A (αBx) =αA (Bx) =α(A B )x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

§4. Замена базиса.

1. Матрица преобразования координат.

Возьмём в пространстве Εn два различных базиса e1 ,e2 ,...,en и

E1, E2 ,..., En .

122

x=x1 cosα −y1 sinα

y=x1 sinα +y1 cosα

Здесь

осуществляющая переход от одного ортонормированного базиса к другому, ортогональная.

§5. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

124

3. (A B ) = B A

5. если A −1 существует, то (A −1 ) = (A )−1 .

Определение 2. Линейный оператор A , определённый в вещественном евклидовом пространстве Εn , называется самосопряженным, или симметрическим, если он совпадает со своим сопряженным оператором A , т.е. если A = A .

Очевидно, что матрица самосопряженного оператора совпадает с транспонированной в любом ортонормированном базисе, т.е. является симметричной относительно главной диагонали.

(A −1 ) = (A )−1 = A −1 .

Доказательство. Действительно, если существует A −1 и кроме того A = A , то в силу свойства 4 сопряженного оператора, получим

(A −1 ) = (A )−1 = A −1 ;

3.Если A -самосопряженный оператор в вещественном пространстве Εn , то имеет место равенство:

Следовательно, равенство (1) верно.

§7.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Пусть A - линейный оператор. Пусть x Ε1, где Ε1 некоторое подпространство пространства Εn. Вектор y = A x может принадлежать подпространству Ε1, а может и не принадлежать.

Определение 1. Подпространство Ε1 называется инвариантным по отношению к оператору A , если A x Ε1 , x Ε1.

Определение 2. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора A , если найдётся такое число λ , что будет выполняться равенство

126

A x = λx .

При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) оператора A , соответствующим вектору x . Множество всех собственных значений оператора A называется его спектром.

Остановимся на отыскании собственных значений и собственных векторов линейного оператора A .

Рассмотрение проведём для случая n = 3 .

Итак, пусть в некотором базисе оператор A имеет матрицу

Итак, дело свелось к решению системы линейных однородных уравнений, записанной в матричном виде. Очевидно, что эта система имеет ненулевое решение, если det(A −λE) = 0 . Уравнение det(A −λE) = 0 называется

характеристическим, или вековым уравнением оператора A ; многочлен det(A −λE) называется соответственно характеристическим многочле-

ном оператора A . В координатной форме характеристическое уравнение выглядит так:

Решив его, найдём λ1,λ2 ,λ3 - собственные значения линейного оператора. Можно показать, что собственные значения оператора A не зависят от

выбора базиса, т.е. матрицы A и T −1 A T имеют одинаковый набор собственных значений. Далее, для суммы диагональных элементов матрицы A ,

После того как найдены собственные значения линейного оператора A , остаётся подставить их по очереди в уравнение (1) и найти соответствую-

щие собственные векторы x(1) ,x(2) ,x(3) .

127

Пример 1. Найти собственные значения и собственные числа линейного оператора, матрица которого

Система однородная, следовательно, она имеет бесчисленное множество решений, если определитель системы равен нулю, т.е. имеем характеристическое уравнение:

Решая его, получим такие собственные значения λ1 = −1; λ2 = 3 .

Найдём соответствующие собственные векторы. 1) λ1 = −1 подставим в (2), получим

где t (1) - некоторый параметр. Таким образом, имеем множество коллинеарных векторов, соответствующих первому собственному числу λ1 = −1:

X (1) = t (1)−t (1)

Этот вектор нетрудно пронормировать, тогда мы получим единичный собственный вектор, соответсвующий первому собственному числу λ1 = −1

т.е.

2) λ2 =3 подставим в (10), получим

128