Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тамбовский Государственный Университет им. Г.Р. Державина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математическое моделирование / belova

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.03.2016

Размер:

633.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных
производных		51

u1 = U1,	u2 = U2,	(4.123)
второй — выражением
u(ξ) = ϕ1 (ξ)u1 + ϕ2 (ξ)u2
u1 = U2,	u2 = U3,	(4.124)
третий — выражением
u(ξ) = ϕ1 (ξ)u1 + ϕ2 (ξ)u2
u1 = U3,	u2 = U4	(4.125)

Мы получили непрерывное температурное поле, описанное значениями температуры в узлах и линейными базисными функциями (см. рис. 9)

Рис. 9.

Базисные функции можно рассматривать как весовые функции для зна• чений в узлах. Так, для элемента 1:

при

ξ = 0 u(0) = (1 − 0)u1 + 0 · u2 = u1

(4.126)

совсем не зависит от u2, при

ξ = 4	u		4		= 1 −	4	u1 +	4	· u2 =	4u1 +		4u2,		(4.127)
1			1			1		1		3		1

при

52	Детерминированное моделирование

Рис. 10.

ξ = 2	u	2	=	1 − 2	u1 +	2	· u2	=	2u1 +	2u2,	(4.128)
1		1		1		1			1	1
при				1 − 4	u1 +
ξ = 4	u	4	=	1 − 4	u1 +	4	· u2	=	4u1 +	4u2,	(4.129)
3		3		3		3			1	3
при
	ξ = 1			u(1) = (1 − 1)u1 + 1 · u2 = u2.							(4.130)

Эти весовые функции можно рассматривать как глобальные, и весо• вая функция wn, связанная с глобальным узлом n, строится из базисных функций элементов соседних узлов (см. рис. 10)

Таким образом, мы получили непрерывную параметрическую зависи• мость температуры u от ξ, но чтобы получить u(x), мы должны связать x

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных
производных	53

Рис. 11.

и ξ. Можно написать интерполяционную формулу для определения x по значениям в узлах; так, например, для элемента 1 получим

x(ξ) = ϕ1 (ξ)x1 + ϕ2 (ξ)x2

(4.131)

ианалогично для двух других элементов. Зависимость температуры от x можно определить при помощи двух соотношений

u(ξ) =	ϕn (ξ)un, x(ξ) = ϕn (ξ)xn	(4.132)
n	n

Суммирование проводится по всем узлам элемента. Связь между x и u через ξ показана на рисунке 11.

54	Детерминированное моделирование

Рис. 12.

Квадратичные базисные функции

u(ξ) = ϕ1 (ξ)u1 + ϕ2 (ξ)u2 + ϕ3 (ξ)u3

(4.133)

Рисунок 12:

(a): ϕ1 (ξ) = 2(ξ − 1) (ξ − 0.5) (b): ϕ2 (ξ) = 4ξ (1 − ξ)

(c): ϕ3 (ξ) = 2ξ (ξ − 0.5)

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных
производных	55

Двумерные и трехмерные конечные элементы

Двумерные билинейные базисные функции строятся как произведение одномерных функций (рис. 13).

Рис. 13.

u(ξx, ξ2) = ϕ1 (ξ1, ξ2)u1 + ϕ2 (ξ1, ξ2)u2 + ϕ3 (ξ1, ξ2)u3 + ϕ4 (ξ1, ξ2)u4			(4.134)
ϕ1 (ξ1, ξ2) = (1 − ξ1) (1 − ξ2)
ϕ2 (ξ1, ξ2)	=	ξ1 (1 − ξ2)	(4.135)
ϕ3 (ξ1, ξ2)	= (1 − ξ1)ξ2
ϕ4 (ξ1, ξ2)	=	ξ1ξ2

Например, для шаблона, состоящего из 6 узлов, и для квадратично линейного элемента, получим

56	Детерминированное моделирование

		6
		X
	u = ϕn (ξ1, ξ2)un
		n=1
ϕ1 (ξ1, ξ2)	=	2(ξ1 − 1) (ξ1 − 0.5) (1 − ξ2)
ϕ2 (ξ1, ξ2) = 4ξ1 (1 − ξ1) (1 − ξ2)
ϕ3 (ξ1, ξ2)	=	2ξ1 (ξ1 − 0.5) (1 − ξ2)
ϕ4 (ξ1, ξ2)	=	2(ξ1 − 1) (ξ1 − 0.5)ξ2
ϕ5 (ξ1, ξ2) = 4ξ1 (1 − ξ1)ξ2
ϕ6 (ξ1, ξ2)	=	2ξ1 (ξ1 − 0.5)ξ2

Рис. 14.

Для 8–узельного линейного элемента получим

ϕ1 (ξ1, ξ2) = (1 − ξ1) (1 − ξ2) (1 − ξ3)
ϕ2 (ξ1, ξ2)	=	ξ1 (1 − ξ2) (1 − ξ3)
ϕ3 (ξ1, ξ2)	=	(1 − ξ1)ξ2 (1 − ξ3)

ϕ4 (ξ1, ξ2) = ξ1ξ2 (1 − ξ3)

ϕ5 (ξ1, ξ2) = (1 − ξ1) (1 − ξ2)ξ3

ϕ6 (ξ1, ξ2)	= ξ1 (1 − ξ2)ξ3
ϕ7 (ξ1, ξ2)	=	(1 − ξ1)ξ2ξ3
ϕ8 (ξ1, ξ2)	=	ξ1ξ2ξ3

Треугольные элементы

(4.136)

(4.137)

(4.138)

Для треугольных элементов используют соотношения между площадя• ми (см. рис. 16)

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных
производных	57

Рис. 15.

Рис. 16.

SP23

1 x y

a1 + b1x + c1y

S123

(4.139)

58	Детерминированное моделирование

= 1

SP13

1 x y

a2 + b2x + c2y

S123

SP12

1 x y

a3 + b3x + c3y

S123

a1 = x2y3 − x3y2,

b1 = y2 − y3,

c1 = x3 − x2

a2 = x3y1 − x1y3,

b2 = y3 − y1,

c2 = x1 − x3

a3 = x1y2 − x2y1,

b3 = y1 − y2,

c3 = x2 − x1

L1 + L2 + L3 = 1

u(x, y) = ϕ1 (x, y)u1 + ϕ2 (x, y)u2 + ϕ3 (x, y)u3

ϕ1 = L1, ϕ2 = L2, ϕ3 = L3 = 1 − L1 − L2

Для 6-узельного квадратичного элемента

(4.140)

(4.141)

(4.142)

(4.143)

(4.144)

(4.145)

(4.146)

Рис. 17.

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных
производных			59

ϕ1	=	L1 (2L1 − 1)
ϕ2	=	L2 (2L2 − 1)
ϕ3	=	L3 (2L3 − 1)	(4.147)
ϕ4	= 4L1L2
ϕ5	= 4L2L3
ϕ6	=	4L3L1

Решение одномерной стационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов

В качестве первого примера применения метода конечных элементов рассмотрим решение одномерной стационарной задачи теплопроводности. Распределение температуры вдоль одномерной проводящей балки можно описать уравнением:

d	−k	du	+ q(u, x) = 0	(4.148)
dx		dx

Здесь u температура, q(u, x) — утечка тепла, k — теплопроводность. Рассмотрим в качестве примера случай q(u, x) = u. Тогда уравнение примет вид:

−	d	k	du	+ u = 0, 0 < x < 1	(4.149)
	dx		dx

Предположим, что граничные условия имеют вид u(0) = 0 и u(1) = 1.

Это уравнение при k = 1 имеет точное решение, равное
e	ex − e−x
u(x) = e2 − 1	ex − e−x	(4.150)

Это решение можно сравнить с приближенным решением, полученным методом конечных элементов. Чтобы решить рассматриваемое уравнение методом конечных элементов мы должны проделать следующее:

1.Записать уравнение теплопроводности в интегральном виде.

2.Проинтегрировать по частям (в одномерном случае) или с использо• ванием теоремы Грина (в двумерном или трехмерном случае), чтобы уменьшить порядок производных.

3.Ввести конечно-элементную аппроксимацию для температурного по• ля, используя параметры узлов и базисные функции конечных эле• ментов.

4.Проинтегрировать по элементам и вычислить матрицы нагрузки эле• ментов и векторы правой части.

60	Детерминированное моделирование

5.Путем ансамблирования получить глобальные уравнения.

6.Записать граничные условия.

7.Решить глобальные уравнения.

8.Оценить потоки.

Рассмотрим перечисленные выше шаги.

1. Интегральное уравнение. Составим интегральное уравнение, ис•

пользуя метод взвешенных невязок Rω. dx = 0. Здесь R — невязка, а w — весовая функция.

R = −	d	k	du	+ u	(4.151)
	dx		dx

Если u точное решение уравнения во всей области, то невязка равна нулю во всей области. Подставим выражение для невязки в интегральное уравнение

1	−dx		kdx w + uω dx = 0		(4.152)
Z0	−dx		kdx w + uω dx = 0		(4.152)
		d		du

Полученное интегральное уравнение показывает, что невязка (или ошиб• ка) стремится к нулю в среднем по пространству; ω — выбирается так, что невязка ортогональна к пространству функций, используемых в качестве аппроксимации u.

2. Интегрирование по частям. Большое преимущество решения за• дачи путем решения интегрального уравнения состоит в возможности по• нижения порядка производных при помощи интегрирования по частям (в случае двумерной и трехмерной задач при помощи использования теоремы Грина). Использование формулы интегрирования по частям дает:

g dx dx

dx = [f · g]0 − Z0

−kdx

dx =

−kdx dx

w dx

−kdx 0 − Z0

du dω

В результате уравнение примет вид:

kdx dx + uω dx =

kdx ω 0

du d

(4.153)

(4.154)

(4.155)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математическое моделирование

#
20.03.201610.15 Mб91Arz_(2010)_Mathematical_&_Computer_Modelling.pdf
#
20.03.20167.31 Mб69Arz_Zen_(2010)_Artificial_Intellegence.pdf
#
20.03.2016633.17 Кб47belova.pdf