Математическое моделирование / belova

3.Аппроксимация конечными элементами. Разделим область 0 < x < 1 на три элемента равной длины и заменим u(x) внутри каждого эле• мента при помощи конечно-элементной аппроксимации

При использовании линейных базисных функций ϕ1 (ξ) = 1 − ξ, ϕ2 (ξ) = ξ. Далее используем аппроксимацию Галеркина ω = ϕm.

Интеграл по рассматриваемой области можно представить в виде сум• мы интегралов по каждому конечному элементу:

Перейдем в интегралах от интегрирования по x к интегралам по ξ:

1

Здесь u = ϕnun, ω = ϕm и уравнение принимает вид:

Заметим, что x(ξ) = ϕnXn, x = 13 ξ, J = ddxξ = 13 .

Матрица, на которую умножается un называется матрицей жесткости:

= R kddϕξm 3ddϕξn 3 + ϕmϕn) 13 dξ

0

Чтобы найти матрицу, подставим базисные функции и их производные ϕ1 (ξ) = 1 − ξ ddϕξ1 = −1, ϕ2 (ξ) = ξ ddϕξ2 = 1. Тогда получим

Аналогично,

5. Ансамблирование

Рис. 18.

Метод конечных элементов для решения уравнения в частных

Решение двумерной и трехмерной стационарной задачи теплопроводности методом конечных элементов

Трехмерное стационарное уравнение теплопроводности можно записать в виде:

Здесь kx, ky, kz — коэффициенты теплопроводности вдоль осей x, y, z. В случае постоянных коэффициентов теплопроводности уравнение запи• сывается в виде −r·(kru) = 0. Если же коэффициенты теплопроводности одинаковы по всем направлениям, то уравнение принимает вид: kr2u = 0. Мы должны решит уравнене в области Ω с границей (рис. 19).

Рис. 19.

Интегральное уравнение соответствующее этому уравнению можно за• писать следующим образом[7]:

Z

Ω

При помощи формулы Грина–Гаусса (аналог формулы интегрирования по частям):

Рис. 20.

Для каждого элемента базисные функции и их производные имеют вид:

(4.173)

Интегральное уравнение в случае двумерной задачи имеет вид:

Используя представление решения в виде разложения по базисным функциям и базисную функцию в качестве весовой функции, получим

R

= k∂n ϕn d Emnun = Fm

Emn — матрица жесткости, а Fm — вектор нагрузки m = 1, . . . , 4 и = = 1, . . . , 4.

Рис. 21.

Рассмотрим распределение тепла в единичном квадрате (см. рисунок 21). В этом случае элемент E11 имеет вид:

00

Аналогично вычисляются остальные элементы матрицы жесткости. Заметим, что если элемент не является единичным квадратом, нам надо

переходить от координат (x, y) к координатам (ξ1, ξ2). В этом случае надо в интеграл добавить якобиан перехода, т. е. использовать соотношение:

Матрица жесткости симметрична. Обычно область, для которой ищется решение, состоит не из одного квадратного элемента, поэтому на следую• щем шаге надо получить матрицу жесткости для всей области. В качестве

примера рассмотрим область, состоящую из четырех единичных квадрат• ных элементов и девяти узлов. Получим следующую глобальную матрицу жесткости A:

u1

u2

u3

u4

u8 u9

Рис. 22.

Метод граничных элементов для решения уравнений в частных

−∞

Суммарная сила, приложенная к пластине, равна 1. При увеличении n область, в которой сила отлична от нуля, уменьшается. Нестрого дельта• функцию можно определить следующим образом:

(см. рис. 23)

Рис. 23.

Свойства дельта-функции

∞

Z

−∞

−∞

Это можно показать следующим образом:

Кроме приведенных выше, дельта-функция еще обладает следующими свойствами:

Дельта-функция — производная функции Хэвисайда

0 ξ < t

H(ξ − t) = (4.190) 1 ξ > t

Двумерная дельта-функция вводится следующим образом

Фундаментальное решение

Построим фундаментальное решение для двумерного уравнения Лапла• са. Это решение называется также функция Грина. Рассмотрим двумерное уравнение Лапласа [7]:

в области

Ω <2.