19 Теорема Вариньона

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O₁. Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M_O1Z=åM_o1z(F_k)   (5.11). С другой стороны, имеем M_O1Z=M_Olz(R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M_Oz=0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M_O1z(R)=åM_OlZ(F_k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R₁ приложена в какой-либо точке О₁ с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F_o и главный момент М_Оя  при центре приведения в начале координат. Так как R₁=F_o, то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R_lx=F_Ox=F_Oxi и R_ly=F_Oy=F_oyj. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М_оz=M_Oz(R₁)=xF_Oy–yF_Ox. (5.14). Величины M_Oz, F_Ox и F_oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и у в уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F_ox≠0 его можно переписать в виде y=(F_oy/F_ox)x–(M_oz/F_ox).

20 Центр тяжести твердого тела, определение по формулам.

Координаты центров тяжести неоднородных тел.

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела (рис.4) в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.4

 

где - вес единицы объема тела (удельный вес)

-  вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность (рис.5), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

 где - вес единицы  площади тела,

-  вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию (рис.6), то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

Рис.6

 

 где - вес единицы  длины тела,

-  вес всего тела.

 

 

 

, .

, ,.

21 Произвольная пространственная система сил условия равновесия

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо) любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы (главного вектора системы) и пары сил (главного момента системы сил).

Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил.

В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

 R = 0,  M_o = 0.

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю

 ΣF_kx = 0,    ΣF_ky = 0,    ΣF_kz = 0,

 M_x(F_k) = 0,     M_y(F_k) = 0,    M_z(F_k) = 0.

Условия равновесия могут быть использованы для решения задач на равновесие при определении неизвестных величин (реакций связей). 

Чтобы задача была статически определимой, число неизвестных должно быть не более шести.

В частности, для системы параллельных сил условиями равновесия являются следующие равенства

 ΣF_kx = 0,    M_x(F_k) = 0,    M_y(F_k) = 0.