- •Дисперсия случайной величины
- •Функция распределения случайной величины
- •Законы распределения дискретных случайных величин.
- •Законы распределения дискретных
- •Непрерывные случайные величины
- •Свойства плотности вероятности
- •Функция плотности вероятности
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределения непрерывных случайных величин
- •Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону, есть
- •График плотности вероятности имеет вид:
- •График функции распределения имеет вид:
- •Нормальный закон распределения
- •Кривую нормального закона распределения, называют гауссовой кривой.
- •Теорема 2. Функция распределении случайной величины X, распределённой по стандартному нормальному закону, выражается
- •Свойства нормального распределения
- •правило трех сигм
Дисперсия случайной величины
Дисперсией D(X) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = M[Х-M(X)]2 или D(X) = M[X-a]2 , где а = М(Х). Часто вместо дисперсии используют среднее квадратическое отклонение:
D(X ).
Свойства дисперсии случайной величины.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его и квадрат : D(кХ) = к2D(X)
3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания D(X) = М(Х2)-[М(Х)]2.
Функция распределения случайной величины
Пусть дана функция F(x) определённая следующим образом: для каждого х значение F(x) равно вероятности того, что дискретная величина X примет значение, меньшее х, F(x) = Р(Х<х). Эта функция называется интегральной функцией распределения.
Функция распределения самая универсальная характеристика случайной величины. Ее свойства:
1. Функция распределения неубывающая функция. F(x2) ≥F(x1), если х2>x1.
2. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
3. Вероятность того, что случайная величина X лежит в пределах
х1 < X < х2 , т.е. P(х1 < X < х2) вычисляется как Р(х1 < Х < х2) = F(x2) ─ F(x1).
График функции распределения представляет собой график возрастающей функции, значения которой начинаются с 0 и кончаются 1.
Законы распределения дискретных случайных величин.
Биномиальный закон распределения.
Дискретная случайная величина X |
имеет биномиальный закон |
|
распределения, |
если она принимает |
значения 0,1, 2,…,m,….,n с |
вероятностями |
р(m) = Р(Х = m) = Cnm рm qn-m, где 0 < p <1, q = 1─ р. |
Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.
Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, даются формулами
M(X) = np, D(X) = npq.
Следствие. Математическое ожидание величины (m/n) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. M(m/n) = р, D(m /n)=pq/n.
Законы распределения дискретных
случайных величин.
Paспределение Пуассона.
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с
вероятностями р(m) = Р(Х=m) =е─λ λm/m! , где λ = np.
Tеорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона. т.е. М(Х) = λ, D(X)= λ.
Распределение Пуассона ─ частный случай биномиального закона распределения для относительно больших n и относительно малых р.
Непрерывные случайные величины
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными
случайными величинами.
Удобнее всего задавать непрерывную случайную величину с помощью плотности вероятности.
Плотностью вероятности (плотностью распределения) (х)
непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения , т.е. (х) = F (x).
Свойства плотности вероятности
1. Плотность вероятности - неотрицательная функция.
2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а, b] равна определённому интегралу oт её плотности вероятности в пределах от а до b:
b
P(a X b) (x)dx. a
3. Функция распределения случайной величины может быть выражена
через ее плотность по формуле:
x
F(x) (t)dt.
4. Площадь фигуры, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.
Функция плотности вероятности
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения (х) называется число а = М(Х), определяемое равенством:
a M(X) x (x)dx.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
2. Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(Х) = М[Х-a]2, а=M(X).
D(X) (x a)2 (x)dx.
Законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.
|
1 |
|
, |
a x b; |
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|||
(x) b |
|
|
|
||
|
0 |
|
, |
x a или |
x b. |
|
|