Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
80
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
701.95 Кб
Скачать

Дисперсия случайной величины

Дисперсией D(X) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

D(X) = M[Х-M(X)]2 или D(X) = M[X-a]2 , где а = М(Х). Часто вместо дисперсии используют среднее квадратическое отклонение:

D(X ).

Свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его и квадрат : D(кХ) = к2D(X)

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания D(X) = М(Х2)-[М(Х)]2.

Функция распределения случайной величины

Пусть дана функция F(x) определённая следующим образом: для каждого х значение F(x) равно вероятности того, что дискретная величина X примет значение, меньшее х, F(x) = Р(Х<х). Эта функция называется интегральной функцией распределения.

Функция распределения самая универсальная характеристика случайной величины. Ее свойства:

1. Функция распределения неубывающая функция. F(x2) ≥F(x1), если х2>x1.

2. 0 ≤ F(x) ≤ 1.

3. Вероятность того, что случайная величина X лежит в пределах

х1 < X < х2 , т.е. P(х1 < X < х2) вычисляется как Р(х1 < Х < х2) = F(x2) ─ F(x1).

График функции распределения представляет собой график возрастающей функции, значения которой начинаются с 0 и кончаются 1.

Законы распределения дискретных случайных величин.

Биномиальный закон распределения.

Дискретная случайная величина X

имеет биномиальный закон

распределения,

если она принимает

значения 0,1, 2,…,m,….,n с

вероятностями

р(m) = Р(Х = m) = Cnm рm qn-m, где 0 < p <1, q = 1─ р.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, даются формулами

M(X) = np, D(X) = npq.

Следствие. Математическое ожидание величины (m/n) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. M(m/n) = р, D(m /n)=pq/n.

Законы распределения дискретных

случайных величин.

Paспределение Пуассона.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с

вероятностями р(m) = Р(Х=m) =е─λ λm/m! , где λ = np.

Tеорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона. т.е. М(Х) = λ, D(X)= λ.

Распределение Пуассона ─ частный случай биномиального закона распределения для относительно больших n и относительно малых р.

Непрерывные случайные величины

Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными

случайными величинами.

Удобнее всего задавать непрерывную случайную величину с помощью плотности вероятности.

Плотностью вероятности (плотностью распределения) (х)

непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения , т.е. (х) = F (x).

Свойства плотности вероятности

1. Плотность вероятности - неотрицательная функция.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а, b] равна определённому интегралу oт её плотности вероятности в пределах от а до b:

b

P(a X b) (x)dx. a

3. Функция распределения случайной величины может быть выражена

через ее плотность по формуле:

x

F(x) (t)dt.

4. Площадь фигуры, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

Функция плотности вероятности

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью распределения (х) называется число а = М(Х), определяемое равенством:

a M(X) x (x)dx.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

2. Дисперсией D(X) непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(Х) = М[Х-a]2, а=M(X).

D(X) (x a)2 (x)dx.

Законы распределения непрерывных случайных величин

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

 

1

 

,

a x b;

 

 

 

 

 

 

a

 

(x) b

 

 

 

 

0

 

,

x a или

x b.

 

 

Соседние файлы в папке Математика_лекции