Математика_лекции / Lektsia_10
.ppt
Система линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:
a11 x1 |
a12 x2 |
.... a1 j x j |
... a1n xn |
|
b1 ; |
||||||||||||||||
a |
x |
a |
22 |
x |
2 |
.... a |
2 j |
x |
j |
... a |
2n |
x |
n |
b ; |
|||||||
|
21 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
x |
a |
i 2 |
x |
2 |
... a |
ij |
x |
j |
.... a |
in |
x |
n |
b ; |
|||||||
|
i1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 x2 ... amj x j ... amn xn bm |
|||||||||||||||||||
am1 x1 |
|||||||||||||||||||||
где aij, bi (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x1=k1, x2=k2, … xn=kn), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система, называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
a |
|
a ... |
a |
|
|
||
11 |
12 |
|
1n |
|
|||
|
21 |
a22 ... |
|
|
|
||
a |
a 2n |
||||||
A |
|
|
|
|
|
|
; |
........................... |
|
||||||
|
|
a |
|
... a |
|
|
|
a |
m1 |
m2 |
|
|
|||
|
|
|
|
mn |
|||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
X |
|
|
|
|
|
; |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
B |
|
|
|
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
b |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:
где А – матрица коэффициентов
при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица- столбец свободных членов.
Систему (1) можно записать в виде:
АХ=В.
Системы n линейных уравнений с n
переменными
Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n.
Тогда матрица системы является квадратной, а её определитель Δ=│А│называется определителем системы.
Предположим, что │А│не равен нулю, тогда существует обратная матрица А-1.
Умножая слева обе части матричного равенства на обратную матрицу А-1 получим:
А-1 (АХ)= А-1 В.
(А-1 А)Х =ЕХ =Х
Решением системы уравнений методом обратной матрицы будет матрица-столбец:
Х= А-1В.
ПРИМЕР
Метод Крамера
Теорема Крамера. Пусть – определитель матрицы системы А, а j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:
xj j ,
где j=1..n.