Числовые характеристики случайных величин
Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины и обозначается:
αk=M(Xk). (M(X) = α1= α).
Центральным моментом k-го порядка называется
математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины от её математического ожидания и обозначается:
µk= M(X- M(X) )k.
Из определения следует: µ2= M(X- M(X) )2=D(X).
1
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Справедливы формулы:
µ0=1;
µ1=0;
µ2= α2- α2;
µ3= α3- 3αα2+2α3;
µ4=α4 +6α2α2-4αα3-3α4.
|
3 |
|
3 |
|
|
Величина |
называется коэффициентом асимметрии. Он |
характеризует «скошенность» распределения случайной величины по отношению к математическому ожиданию.
Для симметричных распределений µ3=0, поэтому коэффициент асимметрии равен нулю.
2
коэффициент асимметрии
3
Величину |
|
4 |
3 |
называют коэффициентом эксцесса (эксцесс) |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
случайной величины Х . Он характеризует «крутость» распределения случайной величины Х по отношению к нормальному.
Для нормального распределения |
4 |
3 |
и, |
0 . |
4 |
||||
|
|
|
|
|
4
Двумерные случайные величины. Дискретные
двумерные случайные величины.
Пусть (Х,У) - двумерная случайная величина, тогда её распределение можно представить в виде таблицы распределения, в каждой клетке
(i, j) которой располагаются вероятности произведения событий
pij P( X xi,Y y j ), причем i, j pij 1.
5
Функция распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,У)
(безразлично, дискретной или непрерывной) называется функция
F(x,у) = Р(Х<х, У< у).
В случае дискретной двумерной случайной величины её функция распределения F(x,у) = pij , где суммирование вероятностей
распространяется на все i, для которых xi x и все j, для которых
y j y.
6
Плотность совместного распределения вероятностей
Непрерывную двумерную величину можно задавать пользуясь плотностью распределения.
Будем предполагать, что функция F(x,y) всюду непрерывна и имеет всюду непрерывную частную производную второго порядка.
Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y) двумерной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную производную от функции распределения т.е.
f( x, y) 2 Fx( xy, y) .
Зная плотностью совместного распределения вероятностей f(x,y), можно найти функцию распределения F(x,y) по формуле:
y x
F( x, y) f ( x, y)dxdy.
7
Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин
Условным законом распределения одной из составляющих
двумерной дискретной случайной величины (Х,У) называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая
составляющая приняла определенное значение.
Пусть дана двумерная дискретная случайная величина (Х,У).
x1,x2..xn; y1,y2..ym.
Будем обозначать условные вероятности составляющей Х
p(xi/yj) (i=1,2,..n; j=1,2,..m).
Условным распределением составляющей Х при Y=yj называют совокупность условных вероятностей p(x1/yj), p(x2/yj), … p(xт/yj), вычисленных в предположении, что событие Y=yj уже наступило (j имеет одно и то же значение при всех значениях Х).
Аналогично определяется условное распределение составляющей У.
8
Числовые характеристики системы двух случайных величин
Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x (x- определенное возможное значение X) называют сумму произведений возможных значений Y на их условные
вероятности :
|
m |
|
M (Y / X x) y j p( y j / x). |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
Для непрерывных величин: |
M (Y / X x) y ( y / x)dy. |
|
|
|
|
где |
( y / x) - условная плотность случайной величины Y при X=x. |
|
9
Условное математическое ожидание M (Y / x) есть функция от x , т.е.
( M (Y / x) f ( x) ) называют функцией регрессии Y на X.
Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины X и функции регрессии X на Y.
10