Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.
|
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций |
||
|
равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. |
|
|
|
lim [ f (x) g(x)] |
lim |
f (x) lim g(x). |
|
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен
|
произведению пределов этих функций, т.е. |
lim |
f (x) lim g(x). |
|
|
lim [ f (x)g(x)] |
|||
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
||
|
Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела,
т.е. |
lim [Cf (x)] C |
lim f (x). |
|
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
|
|
Основные теоремы о пределах
Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.
lim [ f (x)]n [ |
lim f (x)]n. |
x x0 ( ) |
x x0 ( ) |
Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.
|
|
|
lim |
f (x) |
|
|
f (x) |
|
|
||
lim |
|
x x0 ( ) |
|
. |
|
|
lim |
g(x) |
|||
x x ( ) g(x) |
|
|
|||
0 |
|
|
x x0 ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечательные пределы
1.lim sin x 1;
x 0 x
|
|
1 |
х |
|
1 |
|
2. lim |
|
lim (1 y) |
y |
e, где е 2,7182... |
||
1 |
х |
|
|
|||
|
|
|
|
y 0 |
|
|
х |
|
|
|
|
||
Раскрытие неопределенностей
I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Делением числителя и знаменателя на наивысшую степень. |
||||||||||||||||||
2. Правило Лопиталя. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
II. |
|
Сводится к неопределенности 0 или |
в результате: |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
1.Приведения дроби к общему знаменателю. 0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2. Перенесения иррациональности в знаменатель. |
|
|
||||||||||||||||
III. |
0 сводится к |
0 |
или |
|
по правилу: |
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a b |
|
a |
|
|
a b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||
Раскрытие неопределенностей
IV. 0 0
1.числитель и знаменатель приравнять к нулю.
2.решить полученные уравнения.
3.числитель и знаменатель разложить на множители.
4.сократить на общий множитель.
При наличии иррациональности:
1.Числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряженное данному.
2. Применить формулу (a b)(a b) a2 b2
3. Числитель и знаменатель сократить на общий множитель.
Применение эквивалентных б.м. при
раскрытии неопределенности
Известно, что для малых х (х→0) имеет место:
sin x ~ x
tg x ~ x
arcsin x ~ x
arctg x ~ x
ex-1 ~ x
ln (1+x) ~ x
ax-1 ~ xlna
0
0
Тема: Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции
Определение 1. Функция (х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) определена в точке х0 (т.е. существует (х0));
2) имеет конечный предел функции при х х0;
3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.
lim f (x) f (x0 ).
x x0
Определение 2. Функция у = (х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
lim y 0.
x 0
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той
же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).
Функция у = (х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.