Теоремы сложения и умножения
вероятностей
Теорема сложения. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)
Если A и A |
противоположные события, то P( |
|
) 1 P( A) . |
A |
|||
Теорема умножения. Если А и В независимые события, то |
|||
|
Р(АВ) = Р(А)Р(В). |
||
Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Р(АВ) .
Задача
В цель стреляют по одному разу независимо друг от друга 3 стрелка. (Введем обозначения Аi, i = 1,2,3 – в цель попал i- ый стрелок). Записать через Аi следующие события:
в цель попал точно один стрелок (событие В);
в цель попало точно два стрелка (событие С);
в цель попали все стрелки (событие D);
ни один стрелок не попал в цель (событие F);
хотя бы один стрелок попал в цель (событие Е).
Найти вероятность событий В, С, D, F, E, если Р(А1)= 0,7; Р(А2)=0,8; Р (А3) = 0,9.
Условная вероятность
Часто реализация события А зависит от того: произойдет ли событие В или нет. В этом случае говорят, что события А и В зависимы, и вероятность события А записывают в виде Р(А/В) (читается: вероятность события А при условии, что произошло событие В; иногда вместо Р(А/В) в литературе встречается РВ(А).
Теорема умножения принимает в рассмотренном случае вид:
Р(АВ)=Р(В)Р(А/В) .
Задача
Задача 1. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Определить вероятность того, что после извлеченного первым белого шара будет извлечен черный шар.
Решение. Если обозначить через А – извлечение белого шара, а через В – извлечение черного шара, то в нашем случае Р(А)=1/2, а
Р(В/А)=5/9.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии реализации одной из гипотез Н1, Н2, ..., Нn, образующих полную группу событий.
n
i 1P ( H i) 1
Тогда
n
P(A) P(Hi )P(A/Hi ) . (1) i 1
Формула (1) называется формулой полной вероятности.
Пр и м е р
На склад поступают одинаковые изделия, изготовленные тремя различными фабриками и произвольно перемешиваются. Первая фабрика поставила 50% ; вторая – 30% ; третья − 20% от общего объёма продукции. Комиссия наудачу выбирает на складе единицу продукции. Какова вероятность, что выбранное изделие окажется бракованным, если для изделий первой фабрики вероятность появления бракованной детали равна 0,1; для второй фабрики – 0,2, а для третьей − 0,1.
Формула Байеса
Предположим, что в результате испытания событие А произошло. Какова вероятность, что событие А произошло в результате реализации
гипотезы Нk , т.е. P(Hk/A) = ? (происходит переоценка вероятностей гипотез). Ответ дает формула Байеса:
P(H |
k |
/A) |
P(Hk )P(A/Hk ) |
|
P(Hk )P(A/Hk ) |
. |
|||||
P(A) |
|
||||||||||
|
|
|
n |
P(H |
|
)P(A/H |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема о вероятности хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из А1, А2, ….Аn
независимых в совокупности |
равна |
разности между |
|
единицей и |
|||
произведением вероятностей противоположных событий |
A |
A2 |
...An . |
||||
|
1, |
|
|
||||
P(A) 1 q1q2 ...qn , где |
pi |
P(Ai ); |
|
|
|
|
|
|
qi |
1 pi |
i 1,2,...n |
||||
Задача
Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны р1=0,8, р2=0,7, р3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.