ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК_пособие

. . .

Рис.3.5. Связанные заряды на поверхностях диэлектрика

где учтено, что вектор P равен нулю вне диэлектрика и поэтому интеграл берется по части поверхности S, расположенной внутри диэлектрика, на этой части

поверхности угол между векторами P и dS равен 1800; q – связанный заряд внутри замкнутой поверхности S (рис.3.5).

Можно показать, что полученный результат справедлив и в общем случае.

Из формулы (3.12) следует, что источником вектора P являются связанные за-

ряды. В этом и заключается физический смысл теоремы Гаусса для вектора P .

Для вектора электрической индукции D в соответствии с формулами (3.7) и (3.11) запишем:

DdS ( 0 E P)dS 0 EdS PdS ( qk q ) q qk ,

где qk - сумма сторонних зарядов, находящихся внутри поверхности S

k

Формула (3.13) выражает теорему Гаусса для вектора D: поток электри-

ческого смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности сторонних зарядов. Следовательно, ис-

точником поля вектора D являются свободные заряды.

Расчет электрического поля существенно упрощается, если ввести вектор P , обусловленный распределением связанных зарядов q (3.12), и вектор D , связанный с распределением свободных зарядов q (3.13). Тот факт, что источником поля вектора D являются только свободные заряды, проводит к тому, что линии D на границе диэлектрика, где появляются связанные заряды q , не

а) б)

Рис.3.6. Графическое изображение поля внутри поляризованного диэлектрика с помощью линий вектора E (а) и с помощью линий вектора D (б)

30

прерываются. Это удобно для графического изображения электрического поля в присутствии диэлектрика. На рис.3.6 в качестве примера приведено графическое

изображение с помощью линий E и линий D электрического поля плоского конденсатора, внутри которого находится прямоугольная пластина из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью .

Выведем формулы, связывающие свободные заряды q и их поверхностную

плотность q на пластинах конденсатора со связанными зарядами q и их

S

поверхностной плотностью q на диэлектрике. Для этого запишем для модуля

S

напряженности E электрического поля внутри пластины (см.рис.3.6,а) в соответствии с выражениями (3.2) и (3.3):

В формуле (3.15) не выделены явно знаки зарядов q и q , они могут быть как больше, так и меньше нуля. Но если q>0, то тогда q <0, и наоборот (это соответствует факту ослабления внешнего поля внутри диэлектрика).

Выражение (3.15) используется для выяснения физического смысла теоремы Гаусса для вектора E электростатического поля: источником вектора E

являются свободные и связанные заряды. Поэтому часть линий E на границе диэлектрика прерывается и может изменять свое направление.

Из двух векторов E и D, описывающих электростатическое поле, вектор E является истинным вектором этого поля, так как источником E являются все

существующие в природе электрические заряды, а вектор D – вспомогательный вектор, служащий для упрощения расчета электрического поля в присутствии диэлектрика.

31

4.ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

4.1.Распределение избыточного заряда на проводниках

всостоянии равновесия

Проводники – это вещества, в которых есть свободные носители зарядов, способные перемещаться под действием внешнего электрического поля. В случае металлических проводников свободными носителями заряда являются валентные электроны, которые образуют газ, заполняющий кристаллическую решётку положительно заряженных ионов.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится

так, чтобы соблюдались условия равновесия. В условиях равновесия избыточного заряда справедливы следующие утверждения:

1.Электрическое поле внутри проводника Eвн отсутствует, а объём проводника и его поверхность являются эквипотенциальными:

Eвн 0, вн const . (4.1)

Действительно, если равенства (4.1) не выполняются, то тогда свободные заряды в проводнике будут перемещаться, так как работа сил электрического поля не будет равна нулю (dA qEdlcos qd 0). Это противоречит усло-

вию равновесия избыточного заряда: в условиях равновесия они должны быть неподвижными.

2.Из-за кулоновского отталкивания одноимённых зарядов избыточные заряды стремятся разойтись на максимально большое расстояние между собой. Кроме того, согласно (4.1) и теореме Гаусса (1.21) сумма зарядов внутри проводника будет равна нулю. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – все они распределятся по поверхности проводника.

3.Распределение избыточных зарядов на внешней поверхности проводника является неравномерным. Установим связь между поверхностной плотно-

стью заряда σ и напряжённостью поля E вблизи поверхности заряженного проводника. Для этого построим цилиндрическую поверхность площадью основания dS таким образом, что образующая цилиндра перпендикулярна поверхности проводника, а основания – одно вне, а другое внутри проводника (рис. 4.1).

Поток вектора Е пронизывает только верхнее основание поверхности, так как поля внутри проводника нет

Из-за взаимного отталкивания избыточные заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга, поэтому на выступах (остриях) проводника поверхностная плотность заряда проводника больше, чем в других местах. Следовательно, вблизи таких частей заряженного

32

поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри нее также равно нулю.

Итак, внешнее электрическое поле не проникает внутрь металла. Это позволяет, например, использовать металлическую оболочку, сплошную или в виде сетки, для защиты (экранировки) различных приборов от внешних электрических полей.

4.3. Электроёмкость проводника

Рассмотрим уединённый проводник, т.е. проводник который удалён от других тел. Его потенциал согласно (1.15) прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединённого проводника можно записать:

q C .

Величину

называют электроёмкостью (или просто ёмкостью) уединённого проводника. Емкость уединённого проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника.

Единица электроёмкости – фарад (Ф); 1 Ф – емкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Потенциал уединённого шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен:

4 0 R

используя формулу (4.3), получаем емкость шара

С 4 0 R

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединённый шар, находя-

4 0

больше радиуса Земли (электроёмкость Земли С≈0.7 мФ). Следовательно, фарад

–очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы

–миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ) и др.

4.4 Конденсаторы. Электроёмкость конденсаторов

Наибольший эффект увеличения электроёмкости проводника достигается для конденсаторов, представляющих собой две металлических пластины, раз-

34

делённые слоем диэлектрика. На пластины (обкладки) подают заряды, одинаковые по модулю и противоположные по знаку. Форма конденсатора обеспечивает существование электрического поля только в пространстве между ними. Это позволяет устранить влияние на электроёмкость конденсатора окружающих его тел.

На рис.4.5 приведено схематическое изображение плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов.

б)

E 1 2

q

d h

R1

R2

Рис.4.5. Виды конденсаторов: а – плоский; б – сферический; в – цилиндрический

Электроёмкость конденсатора вводится формулой

где q – заряд положительно заряженной пластины конденсатора; 1 2 - разность потенциалов между его обкладками.

Электроёмкость конденсатора, как и электроёмкость уединённого проводника, зависит только от его геометрических размеров и диэлектрических свойств среды между его пластинами.

Запишем формулы для электроёмкости конденсаторов различного вида: а) плоский конденсатор. Из формул (4.4) и (1.27) получим:

где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между ними; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора;

б) сферический конденсатор. Радиусы обкладок обозначим R1 и R2 (R1 R2 ). Электрическое поле конденсатора обладает сферической симметрией и согласно теореме Гаусса определяется зарядом только внутренней сферы. Учитывая формулу разности потенциалов между обкладками конденсатора

(1.28), получаем:

в) электроёмкость цилиндрического конденсатора:

C 2 0 h ,

ln R2

R1

где h – высота конденсатора; R1 и R2 – радиус внутренней и внешней поверхностей.

35

5. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

5.1. Энергия системы зарядов

Получим выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов q1 и q2 , находящихся на расстоянии r12 . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют, и энергия в этом случае равна нулю. При сближении зарядов на расстояние r12 совершается работа против сил электрического поля, которая идет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая q1 к q2 или q2 к q1 .Работа переноса заряда q1 из бесконечности в точку, удаленную от q2 на r12 , равна

щается заряд q1 . Аналогично работа переноса заряда q2 из бесконечности в точку, удаленную от q1 на r21 , равна

где 2 - потенциал, создаваемый зарядом q1 в той точке, в которую перемещается заряд q2 .

Значение работ в обоих случаях одинаково и каждое из них выражает энергию системы:

W q1 1 q2 2 .

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:

Формула (5.1) задает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд q3 и поместим его в точку, находящуюся на рас-

стоянии r13 от q1 и r23 от q2 . При этом совершается работа

где 3 - потенциал, создаваемый зарядами q1 и q2 в той точке, в которую пе-

Добавляя к системе зарядов последовательно q4 и q5 т.д., можно убе-

диться в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:

где k - потенциал, создаваемый в той точке, где находится qk , всеми зарядами, кроме k-го.

5.2. Энергия заряженного проводника

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов, а следовательно, энергия заряженного проводника может быть определена по формуле (5.3). Известно, что область, занятая проводником, является эквипотенциальной, поэтому k const . Вынесем k в

формуле (5.3) за знак суммы:

W 1 N qk ,

2 k 1

так как qk q и определяет весь заряд, сосредоточенный на проводнике,

k

выражение для энергии заряженного проводника получим в виде: W 1 q.

2

Применяя соотношение q , можно получить следующее выражение для

C

потенциальной энергии заряженного проводника:

W q2 C 2 q .

2C 2 2

5.3. Энергия заряженного конденсатора

Пусть заряд q находится на обкладке с потенциалом 1 , а заряд q на

5.4. Энергия электростатического поля

Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие поле между пластинами. Сделаем это для плоского конденсатора. Учитывая формулу для плоского конденсатора и что U Ed , (5.5) примет вид:

37

Так как S d V - объем, занимаемый полем, то формулу (5.6) можно записать в виде:

Формула (5.5) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, а формула (5.7) – с напряженностью поля. В рамках электростатики невозможно ответить на вопрос, что является носителем энергии – заряды или поле? Постоянные поля и создающие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Законы электродинамики доказывают, что носителем энергии является поле.

Если поле однородно (например, в плоском конденсаторе), энергия в нем распределяется с постоянной плотностью, значение которой можно найти по формуле:

С учетом взаимосвязи напряженности и индукции поля D 0 E выражения для плотности энергии (5.8) можно записать следующим образом:

Первое слагаемое в (5.9) определяет плотность энергии в вакууме, а второе – плотность энергии, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика.

38

6.ПОСТОЯННЫЙ ТОК

6.1.Сила тока, плотность тока

Под электрическим током понимают упорядоченное движение заряженных частиц, причем за направление тока принимают направление движения положительных зарядов.

Электрический ток существует при наличии свободных зарядов и электрического поля. Такие условия для движения зарядов можно создать в вакууме (термоэлектронная эмиссия) и в различных средах, таких как твердые тела (металлы, полупроводники), жидкости (жидкие металлы, электролиты) и в газах. Носителями тока могут быть различные частицы, так в металлах – свободные электроны, в газах – электроны и ионы и т.д.

Протекание тока по проводнику характеризует сила тока I, определяемая по формуле:

где dq – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt. Для постоянного тока величина I остается одинаковой и по модулю, и по направлению, что позволяет в формуле (6.1) выбирать конечные значения заряда

и времени:

Распределение тока по сечению проводника характеризует вектор плотности j , направление которого в каждой точке проводника совпадает с на-

правлением тока, т.е. с направлением скорости V упорядоченных положи-

тельных зарядов (j V). Модуль вектора j равен:

j dI , dS

где dI - сила тока, протекающего в данной точке внутри проводника через элементарную площадку dS , расположенную перпендикулярно к направлению тока (рис.6.1,а).

Рис.6.1. К определению направления вектора плотности тока (а); к определению связи между плотностью тока и скоростью упорядоченного движения носителей тока (б)

Введение вектора плотности тока j позволяет найти силу тока, протекающего через любую поверхность S:

39