ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК_пособие

ФE En dS ESбок 2 rhE ,

S

где r – радиус цилиндра (расстояние от нити до точки, где определяется напряженность); h – высота цилиндрической поверхности.

Определяем заряд внутри цилиндрической поверхности:

H

q dh h .

На (рис.1.13,б) приведен график зависимости модуля вектора E от расстояния от нити до точки, в которой он определяется.

Используя связь между потенциалом и напряженностью поля (1.7), можно определить разность потенциалов между двумя точками поля, находящимися на расстояниях r1 и r2 от нити (см.рис.1.13,а):

В заключение отметим, что приведенные выводы справедливы для нити конечной длины при условии, что её длина значительно больше расстояния от нити до точки, в которой определяется напряженность.

1.12.4. Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R и заряда q

Поле сферической поверхности обладает центральной симметрией – линии

вектора E представляют собой прямые, выходящие из поверхности, перпендикулярные к ней (рис.1.14). Вне сферы на одинаковых расстояниях от ее центра

модуль вектора E будет одинаковым.

а) б)

Рис.1.14. К определению характеристик поля заряженной сферической поверхности: а – равномерно заряженная сферическая поверхность; б – зависимости Е (r ) и φ (r )

Поверхность интегрирования выбираем в виде сферы, центр которой совпадает с центром заряженной сферы (точка О) и имеющей радиус r. Поток век-

тора E через эту сферу (1.18):

20

S

Если r R , внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле и по теореме Гаусса (1.21):

Если r R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует.

q

E 0, ñô 4 0 R .

Если r R справедливы следующие равенства:

сф R, Eсф сф ,

0 0 R

где - поверхностная плотность заряда, согласно (1.24):

Таким образом, можно сделать вывод, что внутри сферы поле отсутствует, а за её пределами оно совпадает с полем точечного заряда q, помещенного в центр сферы.

Графики зависимости E и от r , где r - рас-

стояние от центра сферы до точки, в которой определяются напряженность и потенциал поля, приведены на рис.1.14,б.

С помощью принципа суперпозиции легко определить поле двух сферических поверхностей, имеющих общий центр (точка O, рис.1.15), которые заряжены одинаковыми по величине, но различными по знаку зарядами. Такая система называется сферическим конденсатором. В общей внутренней части меньшей и большей сфер поле отсутствует. В зазоре между поверхностями напряженность поля Е определяется по формуле:

q

E ,

4 0 r 2

где R1 r R2 .

Разность потенциалов между сферами определяется по формуле (1.8):

Поле сферического конденсатора в отличие от поля плоского является неоднородным.

1.12.5. Поле объемно-заряженного шара с равномерной плотностью заряда

Пусть шар радиуса R заряжен с постоянной объемной плотностью . Поле

в этом случае обладает центральной симметрией. Легко сообразить, что для поля вне шара получается тот же результат, что и в случае заряженной сферы. Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса

21

r (r R ) заключает в себе заряд равный: q 43 r3 . Поэтому теорему Гаусса

(1.21) для такой поверхности запишем следующим образом:

Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра шара. Вне шара напряженность убывает по такому же

закону, как и у поля точечного заряда. В центре шара E 0.

22

2.2. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях

Рассмотрим поведение диполя в однородном поле, напряженность которого E (рис.2.3). На заряды диполя действуют равные по величине, но противоположные по направлению силы F1 и F2 . Модуль каждой из сил равен qE . Эти силы создают момент силы. Умножив его на плечо, получим величину момента сил, действующих на диполь

Момент сил (2.5) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент p установился по направлению поля.

Диполь в поле обладает энергией, значение которой можно найти по

где - угол между векторами p и E, поэтому (2.8) можно записать в виде:

Выражение для энергии (2.9) остается справедливым и для неоднородного

поля.

Рассмотрим состояние диполя в неоднородном поле. Пусть электрическое поле нарастает вдоль оси ОХ (рис.2.5).

Рис.2.5. Диполь в неоднородном поле

Если угол между векторами p и E равен нулю (положение 1), то под действием пары сил диполь будет втягиваться в область поля с большей напряженностью F F .

При начальном угле 900 (положение 2) пара сил, действующих на заряды диполя, будет приводить к его вращению с уменьшением угла и втягиванию в область более сильного поля, т.е. к поступательному движению вдоль оси ОХ. При начальном угле 900 диполь будет сначала поворачиваться с уменьшением угла и выталкиваться в область более слабого поля. При достижении угла 900 он поворачивается с уменьшением угла и начинает втягиваться в область более сильного поля.

Можно записать формулу для проекции на ось ОХ силы F , вызывающей поступательное движение диполя, используя известное из механики выражение, связывающее консервативную силу и потенциальную энергию:

Fx dW p dE cos . dx dx

Итак, при любом начальном угле диполь в неоднородном электрическом поле в итоге втягивается в область более сильного поля. Такое поведение диполя используется в пылеулавливателях: в какой-либо части трубы, из которой выходит дым (это могут быть, например, побочные газообразные продукты горения на тепловых электростанциях, металлургических предприятий), создается неоднородное электрическое поле; частицы дыма (диполи) втягиваются в область более сильного поля и не попадают в атмосферу, не загрязняют окружающую среду.

25

3.ДИЭЛЕКТРИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

3.1.Диэлектрики. Полярные и неполярные молекулы

К диэлектрикам относят вещества, практически не проводящие электрического тока. Это значит, что в диэлектриках в отличие, например, от проводников нет зарядов, способных перемещаться на значительные (в сравнении с размерами самих молекул) расстояния, создавая ток. Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (например, NaCl). Сами молекулы могут быть полярными и неполярными.

Положительный заряд молекулы равен суммарному заряду ядер и помещается в «центре тяжести» положительных зарядов; отрицательный заряд равен суммарному заряду электронов и помещается в «центре тяжести» отрицательных зарядов.

Для симметричных молекул (молекулы кислорода О2, водорода Н2, гелия Не и т.д.) в отсутствие электрического поля центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, поэтому собственный дипольный момент молекулы

p равен нулю. Такие молекулы называются неполярными (рис.3.1,а). При внесении такой молекулы во внешнее электрическое поле индуцируется дипольный момент pинд (рис.3.1,б).

а) E0 0 б) E0 в) E 0

0

p 0

Рис. 3.1. Неполярная (а, б) и полярная (в) молекулы

У несимметричных молекул (таких как вода H2O, соляная кислота, аммиак и т.д.) в отсутствие электрического поля центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают, такие молекулы обладают собственным дипольным мо-

ментом p и называются полярными.

3.2. Характеристики, вводимые для описания электрического поля в присутствии диэлектриков

1.Поляризация. Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика. Независимо от строения диэлектрика в процессе поляризации все положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные против поля. Как правило, смещения зарядов малы даже по сравнению с размерами молекул, это связано с тем, что напряженность внешнего поля, действующего на диэлектрик, значительно меньше напряженности внутренних электрических полей в молекулах.

2.Связанные и сторонние заряды. При наличии внешнего электро-

статического поля на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсиро-

26

ванные заряды. Они находятся внутри молекул и не могут свободно перемещаться внутри диэлектрика, поэтому их называют связанными.

Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют сторонними. Эти заряды могут находиться как внутри, так и вне диэлектрика.

3.Поле в диэлектрике. Полем E внутри диэлектрика будем называть величину, являющуюся суперпозицией поля E0 сторонних зарядов и поля E связанных зарядов:

В зависимости от формы диэлектрика и его расположения во внешнем

электрическом поле угол между векторами E0 и E может изменяться, но всегда внутри диэлектрика электрическое поле связанных зарядов ослабляет внешнее электрическое поле (Е<E0).

5.Поляризованность диэлектрика P равна векторной сумме ди-

польных моментов молекул, находящихся в единице объема диэлектрика:

V

Поляризованность P описывает способность диэлектрика создавать свое собственное поле E . Можно показать, что

Опытным путем была установлена формула

где – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика; ε0 – электрическая постоянная.

6.Вектор электрического смещения (электрической индукции) D

вводится формулой

Используя (3.6), можно записать:

D 0 E 0 E (1 ) 0 E 0 E, 1 ,

Формула (3.8) устанавливает связь между вектором электрического смещения и напряженностью поля внутри диэлектрика.

27

3.3. Неполярный диэлектрик во внешнем электрическом поле

…

…

Рис.3.2. Расположение диполей на поверхности диэлектрика и внутри него

На рис.3.2 показано расположение молекул-диполей на поверхности и внутри диэлектрика, представляющего собой прямоугольную пластину длиной L и площадью поперечного сечения S, во внешнем однородном электростатическом

поле напряженности E0 .

Из рис.3.2 видно, что внутри происходит компенсация зарядов соседних молекул (суммарный заряд, заключенный в областях, ограниченных

замкнутыми пунктирными линиями, равен нулю). Некомпенсированными остаются связанные заряды молекул на противоположных гранях диэлектрика

(см.рис.3.2).

Под действием поля E0 молекула приобретает индуцированный дипольный момент pинд , пропорциональный E:

где – скалярная величина, называемая поляризуемостью молекулы. Введение понятия дипольного момента молекулы позволяет описать ее

поведение и соответственно поведение самого диэлектрика в электрическом поле.

На основе рис.3.2 можно получить несколько упрощенных схем диэлектрика (рис.3.3), что позволяет вывести ряд формул. Некоторые из них приведены ниже.

Электрическое поле E диэлектрика эквивалентно электрическому полю плоского конденсатора с поверхностной плотностью заряда его пластин, равной(см.рис.3.3,а). Следовательно,

1.Диэлектрик подобен большой полярной молекуле (см.рис.3.3,б). Рассчитаем модуль вектора поляризованности на основании (3.4):

28

где Pn – проекция вектора P на направления нормали к поверхности диэлектрика (рис.3.3,в Pn=P для правой грани).

2.Все индуцированные дипольные моменты молекул направлены вдоль линии E0 , также направлен и вектор поляризации P (см.рис.3.3,в).

3.4. Полярный диэлектрик во внешнем электрическом поле

В отсутствие электрического поля дипольные моменты p полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы хаотически и вектор поляризованности диэлектрика P равен нулю (рис.3.4,а).

P 0

Рис.3.4. Схема полярного диэлектрика в отсутствии внешнего поля (а) и во внешнем электрическом поле (б)

Если такой диэлектрик поместить во внешнее электрическое поле E0 , то силы этого поля будут стремиться повернуть дипольные моменты молекул вдоль линий E0 , чему препятствует тепловое движение молекул. За счет действия этих двух факторов наблюдается преимущественная ориентация дипольных моментов молекул вдоль поля (рис.3.4,б). Таким образом, диэлектрик поляризуется (P 0), что сопровождается появлением связанных зарядов q на противоположных гранях диэлектрика.

3.5. Физический смысл теоремы Гаусса для векторов D и P

Найдем поток вектора P через замкнутую поверхность (она обозначена пунктирной линией на рис.3.5). На основании выражения (3.11), которое справедливо для любого диэлектрика, получим

PdS PnScos1800 Pn S S q ,

S

29