ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК_пособие

То есть работа перемещения пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. Эту же работу можно определить и другим способом –

как произведение заряда q на модуль напряженности E поля, действующего на пробный заряд, на величину перемещения dl и на косинус угла между вектором E и вектором перемещения dl , т.е. косинус угла (см.рис.1.5):

A12 q Edlcos .

Величина работы не зависит от способа её подсчёта, согласно (1.5) она равна нулю. Отсюда вытекает, что cos 0 и, соответственно, /2, что и требовалось доказать.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть построено бесконечное множество. Условились, однако, проводить поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжённости поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности.

На рис.1.6,а показаны эквипотенциальные поверхности (точнее, их пересечения с плоскостью чертежа) для поля точечного заряда. В соответствии с характером изменения Е эквипотенциальные поверхности при приближении к заряду становятся гуще. На рис.1.6,б изображены эквипотенциальные поверхности и линии напряжённости для поля диполя. Из рис.1.6 видно, что при одновременном использовании эквипотенциальных поверхностей и линий напряжённости картина поля получается особенно наглядной.

E E

Рис.1.6. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда (а); линии напряженности и эквипотенциальные поверхности поля диполя (б)

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности, очевидно, представляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей, перпендикулярных к направлению напряжённости поля.

11

где ( 1 2 ) − разность потенциалов между точками 1 и 2, расположенными на оси x.

1.9. Работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля

Предположим, что некоторый точечный заряд q0 перемещается в поле неподвижного точечного заряда q из точки 1 в точку 2 (рис.1.8). На заряд действует сила, и, следовательно, совершается работа. Первоначально определим работу на малом перемещении dl :

dA Fdl или dA Fl dl,

где Fl Fcos – проекция вектора силы F на направление перемещения dl .

Из выражения (1.10) можно сделать следующие выводы:

–работа не зависит от формы траектории, по которой движется заряд q0,, зависит от положения начальной 1 и конечной 2 точек перемещения. Силовые поля, удовлетворяющие этому условию, называют потенциальными, а силы, действующие в этих полях называют консервативными. Следовательно, электростатическое поле потенциально, а силы в этом поле консервативны;

–работа, совершаемая при перемещении заряда q0 вдоль замкнутой траектории (r1 = r2), равна нулю.

Если силовые линии замкнуты, то такое поле называется вихревым. К таким полям относятся магнитное и возбуждаемое переменным магнитным – электрическое.

Работу, совершаемую при перемещении заряда в поле вдоль замкнутого контура, можно определить выражением:

A q0 Edl, так как F q0 E .

Выражение Edl называют циркуляцией вектора напряжённости элек-

тростатического поля, а (1.11) теоремой о циркуляции E.

Выражение (1.11) позволяет решать многие задачи, связанные с электростатическим полем.

1.10. Энергия заряда в электростатическом поле.Потенциал. Разность потенциалов

Выражение для работы (1.10) можно записать в виде:

Известно, что работа связана с потенциальной энергией выражением:

A W .

Систему в данном случае составляют заряд и поле либо можно рассматривать систему, состоящую из двух зарядов q0 и q.

Из (1.12) следует, что

где W1 – энергия системы в первом состоянии; W2 – энергия системы во втором состоянии. При произвольном расстоянии между зарядами:

Потенциал в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Потенциал является величиной скалярной и определяется по формуле:

В СИ потенциал измеряется в вольтах (В). За единицу потенциала в 1 В

принимается потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает энергией в 1 Дж.

Из уравнений (1.13) и (1.14) очевидно, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, определяется выражением:

где q – заряд, который создаёт поле; r – расстояние от заряда q до точки, где определяется потенциал.

Предположим, что заряд q0 находится в точке 1 электростатического поля,

работа

A W1 W2 ,

14

Из (1.16) следует, что разность потенциалов между двумя точками электростатического поля определяется отношением работы, совершаемой силами поля, при перемещении заряда из одной точки в другую, к величине этого заряда.

1.11. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса

Предположим, что имеется однородное электростатическое поле, в котором расположен плоский контур площадью S (рис.1.9). Под потоком ФЕ вектора

E, пронизывающим площадку S, понимают произведение напряженности поля на площадь контура и на косинус угла между вектором напряженности и нормалью к контуру. Для однородного поля:

ФE E S cos .

Поток может принимать положительное значение, если угол острый, и

отрицательное, если угол тупой. При поток равен нулю. Учитывая, что

2

Ecos En, где E n - проекция вектора напряженности на направление нормали,

ФЕ можно определить выражением:

Если поле неоднородное, а контур не плоский, то для определения потока необходимо контур мысленно разделить на малые элементы площади. В пределах каждой такой площади поле можно принимать за однородное, а сам

Выражение (1.18) является наиболее общим определением потока вектора напряженности поля. Кроме того, поток может быть определен как общее число силовых линий, пронизывающих поверхность.

Определим поток через сферическую поверхность S1, в центре которой расположен точечный заряд q (рис.1.10).

15

Кроме того, используют понятия поверхностной и линейной плотностей зарядов, определяемых соответственно по формулам:

Зная плотности, можно определить величину зарядов, заключенных внутри поверхностей.

Теорема Гаусса позволяет решать две задачи: 1) определение распределения напряженности поля при известном распределении зарядов и 2) определение распределения зарядов по заданному распределению напряженности.

1.12. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

В случае электростатических полей, обладающих симметрией (плоской, осевой или сферической), теорема Гаусса позволяет достаточно просто получить

выражение для определения модуля вектора E . Для этого достаточно теорему применять по следующей схеме:

в каждой точке поля из симметрии поставленной задачи определяют направление вектора E ;

выбирают замкнутую поверхность (поверхность интегрирования) и определяют поток вектора E через неё. Выбранная поверхность должна отражать симметрию поля, и внутри неё должен находиться заряд (или часть заряда);

определяют величину заряда, заключенного внутри поверхности;

применяют теорему Гаусса (1. 21).

1.12.1. Поле равномерно заряженной бесконечно протяженной плоскости

Так как плоскость заряжена равномерно, то во всех её точках поверхностная плотность зарядов одинакова, поэтому поле такой плоскости одно-

родно. Линии вектора E перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны (рис.1.11,а).

17

E

0 r

Рис.1.11. Поле равномерно заряженной бесконечно протяженной плоскости: а – к применению теоремы Гаусса; б – график зависимости Е от r

Выбираем замкнутую цилиндрическую поверхность, основания которой параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. В таком случае линии вектора напряженности пересекают только два основания поверхности, поток через которые согласно (1.18) может быть определен:

ФE En dS 2ES ,

S

где S – площадь основания поверхности.

Определяем заряд внутри цилиндрической поверхности, используя (1.24). Применяем теорему Гаусса (1.21):

На рис.1.11,б приведен график зависимости модуля вектора E в зависимости от r , где r - расстояние от плоскости до точки, в которой определяется

значение E.

Используя связь между напряженностью и потенциалом поля (1.7), можно определить разность потенциалов между двумя точками поля, расположенными на расстоянии r1 и r2 от плоскости (см.рис.1.11,а)

В заключение отметим, что реальная плоскость может быть принята за бесконечно протяженную при условии, что её размеры значительно больше расстояния от неё до точек, в которых определяется напряженность.

1.12.2. Поле плоского конденсатора

Используя выражение (1.26) и принцип суперпозиции полей, можно определить напряженность поля плоского конденсатора (рис.1.12). Из построения силовых линий (см.рис.1.12,а) следует, что поле вне пластин отсутствует (слева и

справа от пластин линии напряженности E и E направлены навстречу друг другу), а внутри конденсатора:

где q – модуль заряда пластины; S – площадь пластины.

18

а) б)

Рис.1.12. Поле плоского конденсатора, создаваемое каждой из пластин конденсатора в отдельности (а) и результирующее поле между обкладками (б)

Разность потенциалов ( 1 2 ) (иначе напряжение U) между пластинами определим согласно (1.8):

где d - расстояние между пластинами.

Приведенные расчеты справедливы при условии, что расстояние между пластинами значительно меньше размеров пластин.

1.12.3. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямой нити

Для равномерно заряженной нити во всех её точках линейная плотность заряда будет одинаковой, поэтому поле имеет осевую симметрию: линии

вектора E представляют собой прямые, выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (рис.1.13,а). На одинаковых расстояниях от нити, т.е. на цилиндрической поверхности модуль E будет одинаковым.

E

Рис.1.13. Поле бесконечной равномерно заряженной нити

Поверхность интегрирования выбирают цилиндрическую, ось которой совпадает с нитью. Поток вектора E через основания цилиндра равен нулю (линии напряженности их не пересекают), поэтому остается поток только через боковую поверхность и согласно (1.18) получим:

19