42. Полный дифференциал функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y) и ее полное приращение

в точке M0(x0, y0) :

∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0).

Если существуют числа P и Q такие, что полное приращение можно предста-

вить в виде

∆z = P ∆x + Q∆y + ε∆ρ, (7)

∆ρ =

p

(∆x)

2 + (∆y)

2 и ε → 0 при ∆ρ → 0, то выражение P ∆x + Q∆y

называется полным дифференциалом функции z = f(x, y) в точке M0. Полный

дифференциал функции z = f(x, y) обозначается dz

dz = P ∆x + Q∆y. (8)

Теорема 1. Если полное приращение функции z = f(x, y) представимо фор-

мулой (7), то P = fx(x0, y0), Q = fy(x0, y0).

Таким образом формулу (8) можно записать в виде

dz = f

0

x

(x0, y0)∆x + f

0

y

(x0, y0)∆y.

Обозначим dx = ∆x, dy = ∆y и назовем эти величины дифференциалами

независимых переменных. Формула (8) примет вид

dz = f

0

x

(x0, y0)dx + f

0

y

(x0, y0)dy (9)

или dz = zxdx + zydy.

Определение. Функция, имеющая дифференциал в каждой точке данной

области называется дифференцируемой в этой области.

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции). Ес-

ли функция z = f(x, y) обладает непрерывными частными производными zx

и zy в данной области, то эта функция дифференцируема в данной области и

ее дифференциал выражается формулой (9).

Пример. Найти дифференциал функции z = x

y

.

Найдем частные производные

zx = yxy−1

, zy = x

y

ln x =⇒ dz = yxy−1

dx + x

y

ln xdy.